Théorie des anneaux

[MaitreMoulax]

Salutations collègues, pouvez vous m'aider avec cette question?

Soit A un anneau euclidien, avec valuation v : A \ {0} → N, et a, b des éléments de A pour
lesquels la division euclidienne de a par b donne
a = q b + r, avec r = 0 ou v(r) < v(b)

(i) Montrer qu’il y a unicité du quotient q et du reste r dans la division euclidienne de a
par b.
Soit A un anneau euclidien, avec valuation v : A \ {0} → N, et a, b des éléments de A pour
lesquels la division euclidienne de a par b donne
a = q b + r, avec r = 0 ou v(r) < v(b).

(i) Montrer qu’il y a unicité du quotient q et du reste r dans la division euclidienne de a
par b.

Manque-t-il une hypothèse dans la question? J'ai un contre exemple : Dans Z,
12=2x5+2 et 12=3x5-3, voici deux quotients différents. J'ai des contre-exemples aussi pour les polynômes.
Des idées?

Merci beaucoup!!

[capitaine nuggets]

Salut !

Ta "valuation" est à valeurs dans

[MaitreMoulax]

Oui, c'est la valuation qui est dans les naturels, pas le reste de la division eucidienne. Dans mon contre-exemple, je peux prendre la valuation valeur absolue et ca marche encore.

[GaBuZoMeu]

L'unicité du quotient et du reste n'est pas demandée pour un anneau euclidien.
D'où sort cette question ?
Quelle est ta définition de valuation ? (D'habitude, on l'appelle "stathme", ça fait plus chic.)