Anneaux - Irréductibilité des nombres premiers dans Z[i]

[endomorphisme]

Bonjour,

Je bloque sur une question de l'exercice suivant, portant sur les anneaux et les idéaux :

Soit p un nombre premier.

a) Montrer que Z[i] isomorphe à Z[X]/(X^2+1) et que (Z/pZ)[X] isomorphe à Z[X]/(p).

b) Soient I et J deux idéaux d'un anneau commutatif A et k : A --> A/I la projection canonique.
Montrer que k(J) est un idéal de A/I et que (A/I)/k(J) isomorphe à A/(I+J)

c) En déduire que Z[i]/(p) est un anneau isomorphe à (Z/pZ)[X]/(X^2+1barre)

[Note : 1 barre désigne la classe d'équivalence de 1 dans Z/pZ, c'est normalement un 1 avec une barre au-dessus, que je n'ai pas réussi à écrire correctement ici).

d) Montrer que p est irréductible dans Z[i] ssi -1 n'est pas un carré modulo p.


Voilà, j'ai réussi à faire les questions a) et b) en utilisant les théorèmes d'isomorphismes vus en cours, je vois comment faire la d) en utilisant la question c), mais je sèche sur la c).

Voici ce que j'ai commencé à écrire :

(Z/pZ)[X]/(X2+1barre) isomorphe à (Z[X]/(p))/(X^2+1barre) (question a) isomorphe à Z[X]/(p)+(X^2+1) (question b)

Z[i]/(p) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/(p) (question a ?? , mais là je suis moyennement convaincu pour le coup).

Et après je sèche...
J'imagine qu'il va falloir utiliser le fait que p soit premier, car je ne l'ai pas encore utilisé jusqu'à présent.
Mais à part dire que Z/pZ est un corps (utile ici ???) je ne vois pas trop...

Merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
Tu peut me montrer ce que tu as écrit pour le b) vu que déjà, je comprend pas l'énoncé : c'est quoi le (J) avec des parenthèses ?
Visiblement, c'est pas la même chose que l'idéal J, en particulier du fait que c'est un idéal (donc une partie) de A/I alors que J est un idéal (donc une partie) de A, mais ça m'éclaire franchement pas sur ce que ça peut représenter ce (J)...

[Ben314]

La question c), c'est effectivement une simple application de la b) vu que cette dernière te dit que non seulement (A/I)/k(J) est isomorphe à A/(I+J), mais aussi, en inversant les rôles de I et de J que (A/J)/m(I) est isomorphe à A/(J+I) [où m est la projection canonique de A sur A/J].
Donc (A/I)/k(J) est isomorphe à (A/J)/k(I) et tu as juste à appliquer ça avec A=Z[X], I l'idéal de A engendré par X^2+1 et J celui engendré par le nombre p.

[endomorphisme]

Merci pour ta réponse.

Mais ce n'est pas plutôt (A/I)/k(J) isomorphe à (A/J)/m(I) ??
Parce qu'alors j'obtiens (Z[X]/(p))/(X^2+1barre) isomorphe à Z[X]/((p)+(X^2+1)) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/m((p))
Or, Z[i]/(p) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/(p) non ? Ou alors, ce serait plutôt Z[i]/(p) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/m((p)) ?

[endomorphisme]

Et du coup, autre question : quand utilise-t-on le fait que p soit premier ? Car si ce n'est pas dans cette question, je ne l'aurais pas utilisé de l'exercice...

[Ben314]

Mais ce n'est pas plutôt (A/I)/k(J) isomorphe à (A/J)/m(I) ?? <= OUI
Parce qu'alors j'obtiens (Z[X]/(p))/(X^2+1barre) isomorphe à Z[X]/((p)+(X^2+1)) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/m((p))
Or, Z[i]/(p) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/(p) non ? <= OUI (c'est la question précédente)
Ou alors, ce serait plutôt Z[i]/(p) isomorphe à (Z[X]/(X^2+1))/m((p)) ? <= OUI, aussi...

Ici, le p ou le m(p), ça change pas bien grand chose et quasi systématiquement (mais pas toujours), on le note simplement "p" et c'est tout.
La différence entre p et m(p), c'est juste que le "p" de départ, on le regarde comme un élément de Z[i] (plus précisément comme l'élément p+0.i de Z[i]) alors que m(p), c'est le même entier p, mais vu comme un élément de Z[X]/(X^2+1), c'est à dire en fait que c'est la classe du polynôme (constant) p de Z[X] dans le quotient par l'idéal engendré par X^2+1.

[endomorphisme]

Ok.
Mais seulement pourquoi la classe de p dans Z[X]/(X^2+1) est-elle p aussi ? C'est ça que j'ai dû mal à saisir.

Et du coup pour le d) j'ai fait ça, ça me semblait bon mais ce qui m'ennuie un peu c'est que je n'ai jamais utilisé le fait que p soit premier...

p irréductible dans Z[i]
<=> (p) maximal (car Z[i] est euclidien, donc principal)
<=> Z[i]/(p) est un corps
<=> (Z/pZ)[X]/(X^2+1barre) est un corps (question c))
<=> (X^2+1barre) est maximal
<=> X^2+1barre irréductible dans (Z/pZ)[X]
<=> -1 n'est pas un carré dans (Z/pZ)[X]

Ca te semble bon ou pas ?

[Ben314]

Mais seulement pourquoi la classe de p dans Z[X]/(X^2+1) est-elle p aussi ? C'est ça que j'ai dû mal à saisir.

De façon totalement précise, ce n'est effectivement pas p, mais comme tu as une injection "canonique" de Z dans Z[X]/(X^2+1), on considère souvent qu'on peut "identifier" les éléments de Z et leur images dans Z[X]/(X^2+1).
Par exemple, je pense qu'à un moment ou un autre, on a du te faire la construction de Q en partant de Z.
Et bien c'est la même chose, au départ, les élément de Z, ça risque pas d'être des élément de Q vu que les éléments de Q, c'est des classes de couples d'entiers. Sauf qu'on montre ensuite qu'il y a une injection de Z dans Q (compatible avec toutes les lois) et écrit qu'on identifie les éléments de Z avec leur image dans Q de façon a faire comme si on avait Z contenu dans Q.
Bref, là, c'est pareil : au départ, "p", c'est un élément de Z (et même de N), mais on fait comme si c'était aussi un élément de Z[i] et comme si c'était aussi un élément de Z[X]/(X^2+1) du fait que ces deux anneaux contiennent des "copies" de Z. Donc si tu veut, tu peut continuer à le noter m(i), mais tu trouvera des tonnes de bouquins et/ou exercices où on le note directement p (des fois, mais pas toujours, ça sera précisé que c'est un "abus d'écriture")

p irréductible dans Z[i]
<=> (p) maximal (car Z[i] est euclidien, donc principal)
<=> Z[i]/(p) est un corps
<=> (Z/pZ)[X]/(X^2+1barre) est un corps (question c))
<=> (X^2+1barre) est maximal
<=> X^2+1barre irréductible dans (Z/pZ)[X]
<=> -1 n'est pas un carré dans (Z/pZ)[X]
Ca te semble bon ou pas ?

Jusque là, c'est bon, mais justement, pour aller plus loin, il semble bien utile de supposer que p est premier de façon à ce que Z/pZ soit un corps : je suis à peu près certain que tu as étudié les trucs du style K[X]/(Q) dans le cas où K est un corps, mais je suis pas sûr que tu l'ait fait dans le cas où K est un simple anneau (pas forcément intègre en particulier).

[endomorphisme]

Ok, merci beaucoup en tous cas.

Et donc du coup, juste pour être sûr, si l'on se limite à l'exercice, on pourrait très bien ne pas supposer p premier ?

Effectivement, les polynômes à coefficients dans un anneau quelconque, c'est pour le second semestre...

[Ben314]

Et donc du coup, juste pour être sûr, si l'on se limite à l'exercice, on pourrait très bien ne pas supposer p premier ?

Sauf erreur, tout ce qu'il y a avant cette question d), c'est effectivement vrai pour un p quelconque.