Le problème de Dirichlet

[Anis1801]

Bonjours !

J'ai un soucis avec la première question de l'énoncé d'un exercice de math sur le problème de dirichlet.

Voici l'énoncé:

Soit f appartient à , on considère le problème:



c'est pour le appartient à.

Question:

A l'aide de la formule de Taylor, montrer que le problème a une solution unique qui s'écrit:



avec K qu'on déterminera.

Idées:

J'ai réussit à montrer la solution de l'unicité. Cependant je ne parviens pas à retrouver la forme en intégrale..
J'ai tenté de partir de la formule en intégrant la fonction u''(x) pour essayer de retrouver la fonction u, mais je n'ai rien trouver de concluant..

De plus, je pense que la formule est plutot mais sa reste à confirmer

Je cherche simplement des idées sur ce sujet si vous en avez ! Merci

[Ben314]

Salut,

De plus, je pense que la formule est plutot . . .

Ben non, dans l'expression le c'est une variable muette donc qui n'a aucune signification donc l'expression en question elle dépend de et uniquement de (et bien sûre des fonctions et ).
Bref, ce qu'il faut que tu montre, c'est que .

Ensuite, la base du calcul intégral te dit que vu que et, de même, vu que .
Donc et il suffit d'utiliser le théorème de Fubini pour trouver une expression de la forme de celle demandée.

[Anis1801]

Merci de ta réponse

J'ai bien tout compris c'est la piste qu'on avait exploré mais avec des simplifications qu'on a dût rater

J'ai juste une dernière question, à la fin on obtient:

. Ensuite j'ai suivis votre indication en utilisant Fubini.

On a donc : Je sais pas si cette étape est bonne, parce que dans le théoreme de fubini f dépant de deux variables alors qu'ici elle ne dépant que e s.

et on aurait au final quelque chose de la forme :

avec

donc : ??

Merci

[Ben314]

Et ben, c'est pas gagné....

Tu peut me dire, quelle est la valeur numérique de par exemple dans le cas où et où la fonction c'est ?

On a donc : . . .

Et la valeur numérique de ton dans les mêmes conditions, c'est combien ?

[Anis1801]

Dans le premier cas je trouve une valeur numerique qui est 1/160.
Dans le deuxième cas je trouve .

J'en déduis que je ne peux pas inverser les deux intégrales de la facon dont je l'ai faites !

J'ai trouvé cette formule pour le Théoreme de Fubini mais elle s'applique toujours à des fonctions à deux variables..


J'avou ne pas trop savoir comment faire apparaitre K(t,s) en utilisant ces formules..

[GaBuZoMeu]

On te parle dans l'énoncé de la formule de Taylor, sans doute celle avec reste intégral.

Tu l'écris pour la fonction , d'abord entre 0 et 1 (tu sais que ), puis entre 0 et . Ça te donnera bien sous la forme voulue.
Indication : tu peux transformer une intégrale de 0 à (avec ) en intégrale de 0 à 1 en multipliant la fonction à intégrer par la fonction indicatrice de .

[Anis1801]

Nickel c'est parfait j'avais pas pensé à la fonction indicatrice ! Merci à vous deux