Fonction de Dirichlet revisited !

[fenecman]

Bonjour , je suis encore une fois harcelé par ces fonctions définies sur Q et R\Q :briques:
f est définie sur R par f(x)=x^2 si x est rationnel et f(x)=0 sinon.
f est-elle continue ? dérivable ?
Moi j'ai trouvé qu'elle n'était continue qu'en 0 mais ça me parait louche vu la deuxième question ...

[bitonio]

Salut,
toute fonction dérivable est continue. Par contraposé, si f n'est pas continue, alors elle n'est pas dérivable.

La fonction est ici partout discontinue.

[Joker62]

Continue en un point ça veut rien dire...

Si une fonction est continue, c'est dans un voisinage...

[Nightmare]

Salut joker :happy3:

La continuité en un point est bien définie! (tu pensais peut être à la continuité uniforme...)

[SimonB]

D'ailleurs cette fonction n'est continue en aucun voisinage de 0 :)

[Joker62]

En fait, pour moi la continuïté, c'est une limite, et donc ça doit être défini dans un voisinage du point... aussi petit soit-il...

[Nightmare]

La fonction doit être définie au voisinage du point oui mais ça ne veut pas dire qu'elle doit être continue sur ce voisinage!

La fonction de fenecman est clairement définie au voisinage de 0, elle est continue en 0 mais n'est pas continue au voisinage de 0.

[ThSQ]

Bonjour , je suis encore une fois harcelé par ces fonctions définies sur Q et R\Q :briques:
f est définie sur R par f(x)=x^2 si x est rationnel et f(x)=0 sinon.
f est-elle continue ? dérivable ?
Moi j'ai trouvé qu'elle n'était continue qu'en 0 mais ça me parait louche vu la deuxième question ...

Elle n'est continue et dérivable (de dérivée 0) qu'en zéro.

(généralisation amusante en )

[mathelot]

Il y a aussi la fonction célèbre:

pour rationnel
f(x)=0 sinon

elle est continue sur tous les irrationnels, discontinue ailleurs.

[ThSQ]

pour rationnelf(x)=0 sinon

Montrer qu'elle est intégrable au sens de Riemann sur 0..1 et calculer son intégrale :doh:

[Nightmare]

Salut :happy3:

Etant continue presque partout elle est Riemann-intégrable. Son intégrale sur [0,1] est nulle me semble-t-il. Je cherche une démo qui tient la route.

[mathelot]

Les fonctions en escalier pour une subdivision de [0;1] minorant f sont négatives ou nulles car les irrationnels sont denses dans [0;1].
donc l'intégrale de Riemann inférieure de f est nulle

Soit fixé. On choisit

Il n'y a que rationnels de dénominateur dans [0;1]
et donc un nombre fini de rationnels de dénominateurs dans [0;1]. On considère ces rationnels comme les points d'une subdivision de [0;1]
par construction la fonction en escalier majore f sur la réunion des intervalles ouverts dont les extrémités sont les points de .
d'où
l'intégrale supérieure de f sur [0;1] est donc nulle (inférieure à tout ) et f est intégrable d'intégrale nulle.

[kazeriahm]

Montrer qu'elle est intégrable au sens de Riemann sur 0..1 et
calculer son intégrale :doh:

l'intégrale de cette fonction est nulle (puisque nulle presque partout) non?

(i mean une fois qu'on a montré qu'elle était Riemann intégrable on calcule son intégrale au sens de Lebesgue qui coincide avec l'intégrale de Riemann)

[ThSQ]

Nightmare, kazeriahm, oui bien sûr mais bon ça utilise de "gros" théorèmes, assez velus, alors que c'est très "élémentaire" (= pas de notions > sup) comme l'a montré mathelot.