Vrai ou Faux (Inéquations, dérivabilités...)

[Lolrien]

Bonjour,

Je dois déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses mais je n'arrive pas à expliquer comment.

Affirmation 1:

Si -7 < x < 5 et que 2 < y < 8, est-ce que, -9 < x-y < 3

Donc j'ai fait, ce qu'on a tout de suite envie de faire, on tombe sur:
-7 - 2 < x - y < 5 - 8 ; ce qui donne, -9 < x - y < -3

Bon, j'aimerais dire que l'affirmation est fausse, mais je suis persuadé que mon raisonnement est faux, car si on prend x = 4 et y = 3, on obtient, x - y = 4 - 3 = 1 et - 3 < 1 ; donc ce que j'ai trouvé plus haut est faux.

Je viens également de trouver un contre exemple: x = -6 et y = 4, on obtient x - y = -6 - 4 = -10
Ce qui rend immédiatement faux l'affirmation, puisque -10 < -9
Cependant, j'aimerais savoir si parmi vous quelqu'un pouvez m'expliquer le raisonnement, permettant de montrer que l'affirmation est fausse, sans passer par ce contre-exemple, et aussi expliquer pourquoi mon 1er raisonnement est faux.


Affirmation 2:

Une suite bornée converge.
Pour moi, c'est faux. On peut prendre la suite Un=sin(n) ou encore la suite Un= (-1)^n


Affirmation 3:

Si f est continue alors elle est dérivable.
Cela me semble vrai, mais je ne saurais pas expliquer comment et pourquoi.


Affirmation 4:

La fonction arccos est définie sur [0 ; pi [
Je dirais faux, elle est définie sur [0 ; 2pi] soit [0 ; 360°]



Merci d'avance !

[beagle]

-7 inf x
si tu veux garder du inf le plus facile est d'enlever du grand à -7 et d'enlever du petit à x
et donc de faire
pour associer 2 inf y

-7 -y inf x-2

ou en ajoutant c'est peut-être plus clair:
ajoueter le grand à x et ajouter le petit à -7
-7 + 2 inf x+y
et tu retrouves ton
-7-y inf x-2

[Lostounet]

Bonjour,

Je dois déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses mais je n'arrive pas à expliquer comment.

Affirmation 1:

Si -7 < x < 5 et que 2 < y < 8, est-ce que, -9 < x-y < 3

Donc j'ai fait, ce qu'on a tout de suite envie de faire, on tombe sur:
-7 - 2 < x - y < 5 - 8 ; ce qui donne, -9 < x - y < -3

Bon, j'aimerais dire que l'affirmation est fausse, mais je suis persuadé que mon raisonnement est faux, car si on prend x = 4 et y = 3, on obtient, x - y = 4 - 3 = 1 et - 3 < 1 ; donc ce que j'ai trouvé plus haut est faux.

Je viens également de trouver un contre exemple: x = -6 et y = 4, on obtient x - y = -6 - 4 = -10
Ce qui rend immédiatement faux l'affirmation, puisque -10 < -9
Cependant, j'aimerais savoir si parmi vous quelqu'un pouvez m'expliquer le raisonnement, permettant de montrer que l'affirmation est fausse, sans passer par ce contre-exemple, et aussi expliquer pourquoi mon 1er raisonnement est faux.


Affirmation 2:

Une suite bornée converge.
Pour moi, c'est faux. On peut prendre la suite Un=sin(n) ou encore la suite Un= (-1)^n


Affirmation 3:

Si f est continue alors elle est dérivable.
Cela me semble vrai, mais je ne saurais pas expliquer comment et pourquoi.
Affirmation 4:

La fonction arccos est définie sur [0 ; pi [
Je dirais faux, elle est définie sur [0 ; 2pi] soit [0 ; 360°]

Merci d'avance !

Salut,

1. Un contre-exemple est une preuve que c'est faux ! Pas besoin d'arguments théoriques si pour certains nombres cela ne marche pas.
Par contre il serait bon de faire attention aux inégalités (quelles propriétés existe-t-il sur les inégalités ? Peut-on juste ajouter membre à membre des inégalités ? Si oui dans quel cas ?).

2. Tu as raison, c'est faux. (-1)^n ou sin(n) sont autant d'exemples qui le montrent.

3. Une fonction continue n'est pas forcément dérivable. Il y a plusieurs contre-exemples:
f(x) = racine(x) est continue en 0 mais non dérivable en 0 (pourquoi?)
f(x) = |x| aussi est continue en 0 mais non dérivable en 0 (pourquoi ?)

4. Non car:
La fonction cosinus part de R (un réel) et te donne un nombre dans [-1 ; 1].
La fonction arccosinus part donc de ..... et te donne un nombre (qui est lui dans [0 ; pi] et pas [0 ; 2 pi] car il faut restreindre le domaine pour ne pas avoir "plusieurs images").

Le domaine est donc ...?

[Lolrien]

Salut,

Je te remercie pour ta réponse.

1. Je suis d'accord qu'un contre exemple existe, mais j'aimerais bien comprendre pourquoi mon raisonnement est faux. Même en revoyant les définitions des inéquations, je n'arrive pas à bien comprendre.

3. D'accord, je vais me renseigner plus sur la définition de la dérivabilité pour prouver la non dérivabilité de la fonction racine carré en 0.

4. Je suis d'accord, pour dire que la fonction cos donne un nombre dans [-1 ; 1]. La fonction arccos part donc des valeurs présentent dans l'ensemble E= x appartient à [-1 ; 1], et renvoie donc une valeur comprises entre [0 ; pi]. Je comprends pourquoi ce n'est pas [0 ; 2pi], car pour cos(x) = 1/2 par exemple, arccos(1/2) renvoie donc x = pi/3 et ensuite, pour trouver l'autre possibilité, on utilise la propriété cos(x) = cos(-x), d'où cos(pi/3)=cos(-pi/3)
Merci je viens de comprendre ça

Le domaine est donc [-1 ; 1].

[beagle]

Pierre a moins de bille que Jules
p inf j

a la récrée ils jouent et perdent tous les deux plus de billes qu'ils n'en gagnent

si Jules perd plus de billes que Pierre
=j'enlève du grand à Jules et j'enlève du petit à Pierre
d'après toi qui en a le plus ou le moins ou autant,
ben moi je dis que je n'en sais plus rien du tout

par contre si celui qui en avait moins en perd plus que l'autre, ben là ça va
l'écart en moins aura encore grandi pas de soucis pour conserver le signe inf

[Ben314]

Salut,

1. Je suis d'accord qu'un contre exemple existe, mais j'aimerais bien comprendre pourquoi mon raisonnement est faux. Même en revoyant les définitions des inéquations, je n'arrive pas à bien comprendre.

Peut être essayer de réfléchir un peu plutôt que d'y aller tel le no brain à coup de "recette magique" : Le principe même d'une soustraction, c'est : J'ai X euro en poche, j'achète un truc à Y Euro et il me reste X - Y Euro " en poche.
Ensuite, la "question qui tue" : si tu veut qu'il te reste le plus possible après achat, a ton avis, il vaut mieux acheter le produit le plus cher possible ou le moins cher possible ?
Bref, pour rendre le résultat de la soustraction X - Y le plus grand possible, il faut prendre Y le plus grand possible ou le plus petit possible ?

[Lolrien]

Oui, je vois, il faut bien évidemment prendre le Y le plus petit possible, je comprends mon erreur.

Sinon, pour la 4, est-ce bien cela ?

4. Je suis d'accord, pour dire que la fonction cos donne un nombre dans [-1 ; 1]. La fonction arccos part donc des valeurs présentent dans l'ensemble E= x appartient à [-1 ; 1], et renvoie donc une valeur comprises entre [0 ; pi]. Je comprends pourquoi ce n'est pas [0 ; 2pi], car pour cos(x) = 1/2 par exemple, arccos(1/2) renvoie donc x = pi/3 et ensuite, pour trouver l'autre possibilité, on utilise la propriété cos(x) = cos(-x), d'où cos(pi/3)=cos(-pi/3)
Merci je viens de comprendre ça

Le domaine est donc [-1 ; 1].

[Ben314]

Oui, le domaine de définition de la fonction arccos, c'est bien [-1,1].
Et effectivement, il faut faire très attention au fait que le réel x=arcos(c) n'est pas LA solution de l'équation cos(x)=c, mais UNE des solution de cette équation.
Plus précisément, c'est LA (unique) solution avec x dans [0,Pi], mais il y a d'autres solutions.