Passage au suplémentaire - exercice sur les endomorphismes

[MoonX]

Bonjour

J'ai un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre correctement (et je ne comprend pas non plus la correction)
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n.
On pose , .
On me demande la dimension de l'image et du noyaux de ces applications.

Pour R_u, j'ai dis :

Or, dans le corrigé il y a ensuite : ce qui me semble faux (dans le sens non rigoureux).
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Ensuite, pour S_u :
et là le corrigé pose un supplémentaire F de Im u, mais il est si peu détailler qu'il admet le résultat sans explications. Que faire de ce supplémentaire ?

Voilà, je vous remercie par avance !

[Mimosa]

Bonjour

Puisque on peut voir la fonction comme à valeurs dans . C'est vrai que c'est un abus de langage, mais pour l'instant ce n'est pas trop grave, et personnellement je ne je ferais pas, je parlerais de fonction induite. C'est comme considérer sur la fonction à valeurs dans où à valeurs dans . La deuxième est surjective, mais pas la première.

Pour la deuxième partie, il faudrait préciser si on prend un supplémentaire de dans où dans . Je suppose que c'est dans . On a alors
et en utilisant le théorème du rang on doit pouvoir en tirer quelque chose.

[MoonX]

Bonjour,

Merci pour votre réponse !

Il me semble qu'il y a eu un mélange dans votre dernière indication (entre Ker u er Ker f)
De plus, je vois pas comment conclure comme cela.
Le corrigé prend un supplémentaire (toujours noté F) de Im u dans E. Mais, et c'est là que je comprend pas, il conclu directement que Ker Ru est isomorphe à L(F,E).

[MoonX]

Bonjour,

Je n'ai toujours pas trouvé de réponse à ma question.
Je ne comprends toujours pas cette histoire de complémentaire.

Je vous remercie par avance !

[Ben314]

Salut,
Tu as montré que les endomorphismes qui sont dans sont précisément ceux tels que et il faudrait une autre carctéristique pour pouvoir calculer facilement la dimension.

L'idée, c'est effectivement de prendre un supplémentaire de (dans évidement) puis de considérer l'application qui à un endomorphisme associe la restriction de à .
Vérifie que cet application est bien un isomorphisme.

[MoonX]

J'ai tout compris, merci beaucoup !