Un petit exercice sur les endomorphismes niveau MPSI

[pouik]

Bonjour,
pourriez vous m'aider à résoudre l'exercice suivant sur lequel je sèche complètement. Merci d'avance pour votre aide.

Soit un -espace vectoriel de dimension finie (avec ou ). On dit que deux endomorphismes et de vérifient les condition si l'on a :




Soit un endomorphisme de . On cherche une condition nécessaire et suffisante sur pour qu'il existe un endomorphisme satisfaisant aux conditions (on dira que est un pseudo-inverse de ).
1. On suppose que admet un pseudo-inverse . Montrer que , puis que .
2. Réciproquement, on suppose que . On note l'endomorphisme induit par sur (c'est-à-dire l'endomorphisme de défini par ).
a. Montrer que est un automorphisme de l'espace vectoriel .
b. On suppose que admet un psuedo-inverse . Que vaut alors lorsque ? Montrer que, si , on a .
c. En déduire que admet un unique pseudo-inverse.

[pouik]

*Soit , donc donc , soit ,
d'où donc

*Soit , donc donc ,
donc d'après , soit d'après donc
soit
donc finalement

Est ce correct ??

[pouik]

Désolé pas d'idées pour la somme directe... :hum: :hum:

[pouik]

Donc si je comprends bien se subsitute à ??

[pouik]

Il se substitue pas, mais si on a l'intersection réduite à {0}, on a la somme directe.

mais donc quand je veux demontrer une somme directe je peux soit montrer la somme + intersection réduite à {0} soit montrer l'égalité au niveau des dimensions + intersection reduite à {0}.

C'est bien ca ?? si j'ai compris.

[pouik]

d'accord et est-ce que ce theoreme porte un nom particulier ?? si on peut parler de theoreme !! :doh:

[pouik]

Ok,
donc soit .
donc on a à la fois :



mais après je vois pas trop quoi faire, j'ai pensé à composer par mais on arrivera jamais à montrer que comme ca ! enfin je crois...

[pouik]

Non ??

[pouik]

J'ai vraiment aucune idée pour résoudre la question 2.a. ! :hum: :hum:
Pourriez-vous me donner une petite piste ?

[pouik]

1 automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Okay pour le coté endomorphisme et pour bijectif, il faut que :
(injectivité)
et (surjectivité),
mais je vois pas comment on vérifie ici ces deux conditions...

[pouik]

Bonjour,
Désolé mais je ne vois pas comment vérifier que l'on a et .... :mur: :mur:

Pourriez vous m'aider ?

merci d'avance.

[pouik]

Injectivité : Suffit de montrer Ker u = {0}

Soit x dans Ker u => u(x) = 0 => a(x) = 0 et x dans Im(a). Or a(x) = 0 => x est dans Ker a.

Or Im a et Ker a sont en somme directe par hypothèse donc x = 0

Donc Ker u = 0

Surjectivité : u est un endo injectif donc bijectif. cqfd

Désolé mais je ne comprends pas bien pourquoi on n'a pas à démontrer la surjectivité ?? :briques: :briques:

[pouik]

Okay merci je savais pas.

Pour la question suivante :
Soit et le psuedo-inverse de .
On a alors :

soit :
soit d'après (3) :
soit :
donc d'après (2) :

Non ??

[pouik]

Oui, y avait vraiment besoin d'une confirmation ?

On est jamais trop sûr... :id:

Sinon pour l'autre partie de la question je ne vois pas comment exploiter
J'arrive juste à trouver que

[pouik]

Bonjour,
je bloque désespérément sur cette dernière partie de la question b. : je ne vois pas du tout comment faire apparaitre .... :briques: :hum:

je vous remercie d'avance pour votre aide.

[pouik]

Merci,
mais je ne comprneds pas pourquoi on peut déduire que :

Soit x dans Im(a)

Montrons que b(x) = u^-1(x).

On a a(x) = u(x) et u^-1 existe.

De plus aba(x) = a(x) donc
abu(x) = u(x). On compose à droite par u^-1 ainsi

ab(x) = x.

Montrons que ab(x) = ub(x) i e b(x) appartient à Im(a).

En effet si on montre ceci on pourra écrire ub(x) = x et composer à gauche par u^-1 pour obtenir b(x) = u^-1(x).

Il suffit donc de montrer que b(x) appartient à Im(a).
i e il existe y tel que a(y) = b(x).

Posons y = b(b(x)).

a(y) = a(b(b(x))) = b(a(b(x))) par (3) = b(x) par (2) . cqfd. Ainsi b(x) appartient à Im(a) et on peut composer par u^-1.

[pouik]

C'était quoi la question précédente ?

Vous parlez de la question précédente de l'ennoncé ?? je ne comprends pas bien... :hum:

[pouik]

Tu me demandes pourquoi on peut dire que u^-1 existe alors que la question précédente était de montrer que u est un automorphisme qui est un endomorphisme bijectif, et bijectif ça veut dire que u^-1 existe.

Oh la bourde !! vraiment désolé pour ce bref moment d'inattention..;

Et arrivé là, comment fait-on pour déduire que b est unique ?! je suis un peu perdu :briques:

[pouik]

Merci beaucoup vous m'avez vraiment aidez. :++: :++:

mais puis-je me permettre d'abusez encore un peu de votre gentillesse en vous soumettant 4 petites dernières questions.
Merci d'avance.

On note l'unique pseudo-inverse de .
1. Déterminer si .
2. Déterminer si est un projecteur.
3. Déterminer si avec et projecteur.
4. Si admet un pseudo-inverse , montrer que admet aussi un pseudo-inverse et préciser .

Pour la 1. je pense que , en tout cas ca marche bien mais je vois pas comment le démontrer...

[pouik]

d'après b.

non ??