Une petite question sur les reductions d'endomorphismes

[pouik]

Bonjour,
Je dois trouver toutes les matrices telles que , avec A=
(1 0 0)
(1 1 0)
(0 0 4)

Et la seule idée que j'ai, c'est d'écrire M avec des coefficients a,b,c,d,e,f,g,h,i
de faire le produit et de procéder par identification.
Mais je pense que ce n'est pas la bonne méthode.

Avez vous des idées sur comment procéder ? Merci d'avance pour votre aide.

[busard_des_roseaux]

bonsoir,
quelque idées (elles sont pas de moi :zen: )

0) les valeurs propres de A sont 1 et 4.
1) si M admet la valeur propre , A admet la valeur propre .
2) le polynôme caractéristique de M est de degré 3. A cause du thm des valeurs intermédiaires, il admet donc une valeur propre réelle, égale nécessairement à -1,1 ou 2
3) On peut considérer que le polynôme caractéristique de M est scindé sur .Les matrices M et A appartenant à , les racines du polynôme caractéristique de M ont leurs carrés égaux à 1 ou 4. Elles sont donc réelles. Le polynome de M est donc scindé sur R , et ses racines sont à valeurs dans .

Ce que je subodore, sans savoir le montrer, c'est que A ayant les valeurs propres 1 et 4, M a nécéssairement deux valeurs propres distinctes, l'une égale à 2 et l'autre appartenant à .

[Skullkid]

Bonjour, le but est justement de ne pas procéder ainsi.

D'abord tu dois remarquer que si M²=A alors en particulier M commute avec A.

Si A commute avec M, alors M stabilise les sous-espaces propres de A, que tu connais (on les voit sur la matrice, en l'occurence, mais sinon il aurait fallu réduire A). A partir de là, tu sais qu'il va y avoir pas mal de 0 parmi les coefficients de M, que tu vas placer. Tu appelles les autres coeff de M a,b,c...

Ensuite tu calcules AM et MA, elles doivent être égales, tu en déduis des conditions sur a,b,c...

Une fois tout ça fait, ta matrice M sera déjà beaucoup plus simple, et là tu peux calculer M² et égaliser les coefficients avec ceux de A.

[busard_des_roseaux]

Si A commute avec M, alors M stabilise les sous-espaces propres de A

Avec ce (magnifique) argument ajouté aux miens, M a deux valeurs propres distinctes : 2 sûre et 1 ou -1. Reste plus bcp de choix.



ou



avec

[lavela]

en fait,il faut chercher une matrice semblable a A,en particulier la reduite de jordan,et donc A^2=a equivaut a B^2=C
puis tu resous