Les endomorphismes autoadjoints

[aissayoub]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice svp :



1) la question 2.5 je ne suis pas sur de la réponse que j'ai fait , en effet je l'ai montré par l'absurde j'ai supposé que u appartient à O(E) donc , or j'ai utilisé la définition de u puis j'ai calculé sa norme finalement j'ai trouvé que (ou tout simplement u appartient à ) , donc absurde!?

2)la question d'après je vois pas trop comment on fait ?

[aviateur]

Bonjour
Je ne suis pas allé jusqu'au bout de ton raisonnement mais il faut pousser un peu loin comme ci-dessous.

Tu as pour tout tout
(d'après l'inégalité triangulaire. )

Donc puisque f et g sont dans , l'inégalité n'est possible que si ||f(x)||=||g(x)||=||x||, i.e f, g sont dans O(E).

[aissayoub]

bonjour monsieur , j'ai plus ou moins compris votre réponse , est ce que vous voulez dire l'égalité ou lieu de l'inégalité ? parceque ||f(x)||+||g(x)||<=||x||+||x|| car f et g sont dans l'ensemble gamma

[aviateur]

Pour être plus précis d'abord si tu as une idée, comme ici un raisonnement par l'absurde il faut le mener aussi loin que possible.
Donc si tu suppose que u est dans O(E) tu as avec ce que j'ai écris
||x||<1/2 (||f(x)|| + ||g(x)||) \leq ||x||
Ce n'est pas possible d'avoir cela si on a ||f(x)||< ||x|| ou bien ||g(x)||< ||x||

ps, Tu peux ne pas m'appeler monsieur, utilises le pseudo c'est mieux .

[aissayoub]

désolé j'ai pas compris ce que vous voulez dire , ce que j'ai écrit au début est faux ?

[aviateur]

Non pas du tout. J'ai dit qu'il faut mener ton raisonnement plus loin (ça veut pas dire que c'est faux).
C'est à dire tu pars de l'idée de faire un raisonnement par l'absurde.
Pourquoi pas, mais simplement tu es bloqué. Je te dis alors qu'on peut continuer un peu en obtenant que f et g sont dans O(E) c'est au moins une étape.
Mais est-ce que tu es d'accord avec le début de la démo?

tu as f(x) et g(x) en norme plus petit ou égaux à 2 x en norme (par définition).

Mais si tu as égalité , ce n'est possible que si norme de f(x) = norme de g(x) = norme de x.

[aissayoub]

d'ailleurs c'est ca ce que j'ai fait c'est juste j'ai essayé de résumé ce que j'avais fait , en effet , on suppose que u appartient à O(E) donc pour x appartient à E et pour f et g dans on a :



d'où : , absurde ! car u appartient à

[aviateur]

Non là on ne se comprend pas. Là je suis pas d'accord, ||x|| \leq ||u(x)|| n'est pas une contradiction. Il aurait fallu une inégalité stricte.
Mais tu en tire que ||f(x)||=||g(x)||=||x|| pour tout x.
Regarde un peu ce raisonnement s-t-p.
Ensuite je pense qu'on peut continuer pour arriver au résultat.

[aissayoub]

ce que vous me dites c'est ce que ||f(x)+g(x)||=2 ||x|| est vrai que si ||f(x)||=||g(x)||=x c'est ca ?

si oui pourquoi ?

[aviateur]

oui mais dans le message que tu as donné avant je suis d'accord avec mais tu dois voir que ça implique
||f(x)||=||g(x)||=||x||

[aissayoub]

d'apès de ce que j'ai déja écrit donc si : on aura ||f(x)||=||g(x)||=||x|| donc f et g dans ce qui est impossible , d'où ce qui est absurde .

[aviateur]

Attention au raisonnement "donc f et g sont dans \Gamma" c'est donc f et g sont dans O(E). Il n'y a pas encore de contradiction. Il faut continuer:

Soit maintenant x qcq mais fixé . Puisque ||f(x)+g(x)||=2 || x||= ||f(x)||+ ||g(x)||

||f(x)+g(x)||= ||f(x)||+ ||g(x)|| implique qu'il existe c tel que f(x)= c g(x)

Ensuite montres que puis que c=1.

Et là tu vas obtenir une contradiction.

[aissayoub]

oui pardon je voulais dire dans O(E) , donc cela est impossible d'après l'hypothèse f et g sont dans Gamma donc l'inégalité est stricte

[aviateur]

Non O(E) est dans Gamma, il n'y pas de contradiction là. regardes un peu mon message précédent;

[aissayoub]

pourquoi ||f(x)+g(x)||= ||f(x)||+ ||g(x)|| implique qu'il existe c tel que f(x)= c g(x)?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Il te faut revoir le cas d'égalité pour l'inégalité triangulaire dans un espace euclidien. On a si et seulement s'il existe positifs non tous les deux nuls tels que .

[aviateur]

pourquoi ||f(x)+g(x)||= ||f(x)||+ ||g(x)|| implique qu'il existe c tel que f(x)= c g(x)?

Ici si l'un des deux vecteurs f(x) ou g(x) est nul il n'y a pas de problème
Donc, pour faire simple, on pose u=f(x) et v=g(x) qui sont deux vecteurs non nuls.
Si u et v ne sont pas colinéaires l'inégalité est stricte: je veux dire qu'on a ||u+v||<||u||+||v||.
Pour comprendre cela fait un dessin de 2 vecteurs colinéaires dans le plan.
Ce qui explique que u=cv pour un certain c.

[aissayoub]

Bonjour,

Il te faut revoir le cas d'égalité pour l'inégalité triangulaire dans un espace euclidien. On a si et seulement s'il existe positifs non tous les deux nuls tels que .

oui vous avez raison.

[aissayoub]

pourquoi ||f(x)+g(x)||= ||f(x)||+ ||g(x)|| implique qu'il existe c tel que f(x)= c g(x)?

Ici si l'un des deux vecteurs f(x) ou g(x) est nul il n'y a pas de problème
Donc, pour faire simple, on pose u=f(x) et v=g(x) qui sont deux vecteurs non nuls.
Si u et v ne sont pas colinéaires l'inégalité est stricte: je veux dire qu'on a ||u+v||<||u||+||v||.
Pour comprendre cela fait un dessin de 2 vecteurs colinéaires dans le plan.
Ce qui explique que u=cv pour un certain c.

et pourquoi c=1 , est ce que c'est à cause de cela : 2||x||=(||c||-1)||g(x)|| ( donc c=1 si ||x||=0 , je suis d'accord que c ne peut pas etre égale à -1)?

[aviateur]

Bon tu as tu passes aux normes d'où où

Si pour un x non nul on à il vient mais n'est pas nul..