Limite d'une fonction de deux variables

[Rhaegar]

Bonjour,

J'ai un exercice où je dois montrer qu'une fonction f de R2 dans R est de classe C1.
J'ai donc calculé ses dérivées partielles. Je cherche à montrer qu'elles sont continues.
Pour celle en x j'ai si (x,y) !=(0,0) et 0 si (x,y)=(0,0)
J'ai montrer qu'elle est continue pour (x,y) != (0,0)
En (0,0) par contre c'est plus compliqué : j'essaye de montrer qu'elle tend vers 0 en (0,0) mais je n'y arrive pas

Merci de votre aide

[aviateur]

Bonjour
Indication
Faire intervenir la norme euclidienne de (x,y) (i.e passer en cordonnées polaires)

[Rhaegar]

Je ne sais pas comment passer aux coordonnées polaires.
Et j'ai remarqué qu'il y avait la norme euclidienne à la puissance 4 au dénominateur.

[Lostounet]

Bonjour,

J'ai un exercice où je dois montrer qu'une fonction f de R2 dans R est de classe C1.
J'ai donc calculé ses dérivées partielles. Je cherche à montrer qu'elles sont continues.
Pour celle en x j'ai si (x,y) !=(0,0) et 0 si (x,y)=(0,0)
J'ai montrer qu'elle est continue pour (x,y) != (0,0)
En (0,0) par contre c'est plus compliqué : j'essaye de montrer qu'elle tend vers 0 en (0,0) mais je n'y arrive pas

Merci de votre aide

Salut,
Voilà ce que j'ai tenté (mais à vérifier)

[Rhaegar]

C'est un cos(téta) au carré mais sinon ça a l'air de marcher. Merci Lostounet, ducoup je vais essayer f'y tout seul.

[aviateur]

Oui c'est ça, mais je voudrais faire remarquer que l'on a sans se fatiguer (i.e sans rien écrire )
| la fonction de (x,y) | (c'est moins bien mais cela suffit pour ce que l'on veut.)

[Lostounet]

Oops j'ai oublié le ^2. Je l'ai remis.

@ Aviateur: Comment moins se fatiguer?

[Rhaegar]

Pourquoi "<= 4r" aviateur ?

[aviateur]

C'est à dire que ce tu as fait à la fin (passer en coordonnées polaires) tu le fais dès le début.
en haut tu as r^5 fois une fonction de cos(t) et sin(t) qui est bornée (par 4 de façon évidente)
et le bas r^4. Donc c'est un calcul de tête.
D'ailleurs donner une valeur de la borne n'est même pas nécessaire.
autrement dit il est évident de voir qu'il existe un M> tel que |f(x,y)|<= M r
(la valeur de M on s'en fout)
D'accord?

[aviateur]

Autre remarque on n'a pas la fonction de départ mais je suis presque sûr que
cette fonction (si je l'appelle f) vérifie une majoration évidente de la forme

Ce qui montrerait directement qu'elle est différentiable en (0,0) et que ses dérivées partielles sont nulles en (0,0).

[Lostounet]

En fait c'est parce que j'avais un espoir que ça se simplifie miraculeusement que je ne suis pas directement passé en polaire :p des fois cela marche.

L'espoir fait vivre

[Rhaegar]

La fonction à la base c'est si (x,y) != (0,0) et 0 si (x,y)=(0,0)
Donc il y a la majoration que tu as dites mais ce résultat n'est pas dans mon cours donc je vais pas l'utiliser.

Merci sinon

[Lostounet]

Je viens de vous trouver la meilleure constante possible:




Mais ça sert à rien.

[aviateur]

On pose donc x=r cos(t) et y=r sin(t). (r=)

Donc f(x,y)=r^2 cos^3(t) sin(t)= r o(r) (car ) borné par 1)

Ce qui s'écrit aussi
f(x,y)= f(0,0)+0 x+0 y +||(x,y)|| o(||(x,y)||)
et justifie ce que j'ai dit dans le post précédent.

[aviateur]

Oui mais la meilleure constante ne joue aucun rôle dans cette question, c'est un autre exercice.

[Lostounet]

Oui mais la meilleure constante ne joue aucun rôle dans cette question

Oui

[jlb]

Salut, un truc qui est bien utile pour décanter la situation, c'est que 2|xy|=<x²+y²!!

[aviateur]

Pourquoi la situation n'est pas décantée?

[Lostounet]

C'est vrai qu'on pouvait s'en sortir sans polaire.

[Lostounet]