Incompatibilité, notion ensembliste ou probabiliste ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Reprenons cette discussion intéressante (désolée, j'ai été très occupée).

Je confirme, que l'indépendance se construit bien dans nos têtes comme ça : p(A sachant B) = p(A). Par cette vision, on peut même voir l'influence de tel ou tel paramètre et commenter la différence, et même dire que c'est pareil quand la différence est faible.
La seconde formule est là pour éviter les cas avec un ensemble vide. On a tendance à conclure vite des choses pas toujours vraie dans le monde réel. Cette deuxième vision sera ensuite réutilisée dans les statistiques plus poussées et n'est donc pas inutile.

Pour ma part, je vois plutôt l’indépendance de 2 événements comme le maillage le plus complet possible des événements élémentaires qui composent ces 2 événements. Je m’explique. Dans un univers fini, cela correspond à ce que toutes les réalisations conjointes des événements élémentaires qui composent ces événements soient possibles. Par exemple, on lance un dé et une pièce de monnaie équilibrés. Il y a 6 réalisations possibles pour le dé et 2 pour la pièce, soit 6*2=12 réalisations possibles pour le lancer simultané du dé et de la pièce. Chaque réalisation étant équiprobable, il paraît naturel de dire que la probabilité de chaque événement élémentaire est de 1/12, donc la probabilité de l’événement « le dé retombe sur 1 et la pièce retombe sur face » est de 1/12, soit 1/6 *1/2. Par contre, "tirer l'as de coeur et tirer un coeur" dans un jeu de 32 cartes ne réalise pas le maillage le plus complet possible, car il se résume à "tirer l'as de coeur". La définition de l’indépendance par P(A inter B) = P(A) * P(B) me semble donc bien naturel.

Mais comment s’en sortir s’il n’y a pas équiprobabilité, ou dans un univers continu ? Par exemple, la pièce a deux fois plus de chances de retomber sur face que sur pile. On pourrait s’en sortir en considérant qu’il y a 3 réalisations possibles équiprobables, dont 2 faces et 1 pile, mais c’est plutôt tiré par les cheveux.

L’indépendance de 2 événements définie par « la connaissance de l’un des 2 événements n’influe pas sur la probabilité de réalisation de l’autre », me semble venir qu’après, en déduction. Et elle pose le problème de sa réciprocité, ou d'un événement dont la proba est nulle. Mais ce n’est qu’un ressenti.

On pourrait aussi définir l’indépendance de 2 événements, soit parce qu’issus de 2 expériences aléatoires indépendantes (mais qu’est-ce que cela peut vouloir dire ? il faudrait déjà définir ce qu’est une expérience aléatoire, et l’indépendance de 2 expériences), soit parce qu’issus de la même expérience mais indépendants (pareil).

Tout cela pour dire qu’il paraît finalement bien logique de définir l’indépendance par P(A inter B) = P(A) * P(B).

[Pseuda]

et bien puisque je ne comprends pas plus que le message de pseuda sur l'indépendance cette phrase:
"Par exemple, on ne "démontre" pas que la proba des événements face et pile lors du lancer d'une pièce bien équilibrée est 1/2 - 1/2. C'est donné en définition, on "donne" cette proba simple via un axiome (équiprobabilité). "
comme skullkid trouve que cette phrase a du sens, bien vous en fasse à tous messieurs les professionnels du site.

Supposons qu’on veuille démontrer en partant de rien que la probabilité de retomber sur pile ou sur face lors du lancer d’une pièce bien équilibrée est 1/2- 1/2. Déjà, que veut dire « probabilité » ? (et « bien équilibrée » ?). Il faut bien lui donner une définition. En suivant notre intuition, on pourrait dire que c’est un nombre compris entre 0 et 1 (du genre, il y a une chance sur 3 …). Et ensuite ? En cas d’équiprobabilité (mais qu’est-ce que cela veut dire ?), on pourrait décréter que la probabilité est égale à 1/nombre de réalisations possibles. Mais dans les autres cas ? Par exemple, la pièce n’est pas équilibrée, elle est plus lourde du côté face. Il faut bien chiffrer ses chances de retomber sur face (par exemple 3/5). Cela ne s’invente pas. Donc autant la donner.

Dans tous les cas, la probabilité des événements élémentaires « se donne ». Et on la sépare de l’univers (l’ensemble des réalisations possibles). Je trouve cette idée géniale de séparer l’univers, des probabilités qui s’y rattachent. La probabilité est une application de l’univers dans [0,1]. J’imagine que cette idée permet certainement de faire une économie de description (on décrit l’univers une fois pour toutes, et on peut considérer plusieurs probabilités dessus), et qu’elle permet de n’avoir pas d’idée préconçue sur l’univers des possibles (un événement peut se révéler impossible au calcul de sa probabilité, ou un événement élémentaire peut se révéler impossible quand on décompose les événements).

Mais le problème, c’est que certaines probabilités peuvent exclure des événements (par exemple avec le « sachant A », ou on peut envisager des probabilités qui rendent la réalisation de certains événements impossibles). Si on n’y prend pas garde, on se retrouve alors avec une probabilité qui vient modifier l’univers (l’ensemble des « possibles »). C'est-à-dire que l'application qu'on met sur un ensemble modifie cet ensemble (hum). Il faut donc bien admettre des événements « impossibles » (à probabilité nulle) qui ne sont pas l’ensemble vide (absence de tout événement élémentaire, le seul « événement impossible » en sens mathématique du terme). Par exemple, « courgette » pour le lancer d’une pièce est un événement à probabilité nulle, mais pas l’ensemble vide. Et on fera seulement attention qu’une probabilité qui donnerait une proba nulle à cet événement serait absurde, et qu’on n’aurait finalement aucun intérêt à le faire.

L’autre solution aurait été de dire que le couple univers – probabilité qu’on met dessus est un tout indissociable. Par exemple, avec le « sachant que », on aurait un autre univers. On serait dans un univers où on sait que A a été réalisé, et les événements impossibles avec le sachant A seraient exclus. Finalement, je ne sais pas très bien pourquoi ce choix-là n’a pas été fait. On aurait alors P(A)=0 ssi A est vide (ce qui serait quand même plus simple). Peut-être parce que dans les probabilités continues, on peut de toute façon avoir P(A)=0 pour A non vide.

J’arrête là mon laïus.

[pascal16]

Chaque réalisation étant équiprobable, il paraît naturel de dire que la probabilité de chaque événement élémentaire est de 1/12, donc la probabilité de l’événement « le dé retombe sur 1 et la pièce retombe sur face » est de 1/12, soit 1/6 *1/2.

Il faudrait le présenter à des esprits vierges.

si A et B sont deux événements, là tu donnes p (A et B).
si A est un ensemble de chiffres et B{ "pile" ; "face"}, A inter B n'a pas de sens pour un novice en proba.

dans un exemple typique de lycée : Fille/garçon et fumeur/non fumeur, là ça marche, A inter B représente bien A et B.
L'indépendance est alors interprétée comme "le sexe de l'individu ne change pas la probabilité d'être fumeur"

Un autre exemple typique de lycée est "fille/garçon et CPGE/pas CPGE".

[Pseuda]

Bonjour,

En effet, là dans cet exemple fille / garçon - fumeur / non fumeur, on ne ressent plus l'indépendance comme le maillage le plus complet possible des événements élémentaires (fille fumeuse, fille non fumeuse, garçon fumeur, garçon non fumeur). Tous les croisements sont possibles en plus ou moins grande quantité.

On voit l'indépendance plutôt comme l'égalité de rapports (en nombre) : fumeurs / garçons = fumeuses / filles = total fumeurs(ses) / (garçons + filles), c'est-à-dire comme probabilité de A sachant B = probabilité de A, et on est ramené (avec une autre égalité de rapports pas très naturelle) à P(A inter B) = P(A)*P(B).

A mon avis, ce ressenti provient du fait qu'il n'y a pas équiprobabilité dans cet univers entre les filles et les garçons, et les fumeurs ou non. Par exemple, on ressent que les événements "tirer un as" et "tirer un coeur" dans l'expérience aléatoire de tirer une carte dans un jeu de 32 cartes, sont indépendants, car les couleurs sont équiprobables ainsi que les valeurs de cartes, et que le maillage est complet.

Tout ça n'est que du ressenti.

[anthony_unac]

Bonjour,
Tous ces soucis d'intuition ou de ressenti sont bien naturels pour nos "crétins de cerveau" (cf. biais cognitifs) mais on dérive doucement mais surement vers la psychologie.

[Pseuda]

Bonjour,

Pas d'accord, on dérive sûrement vers l'intuition mathématique, mais certainement pas vers la psychologie qui, à mon sens, n'a rien à voir. L'intuition mathématique est commune, plus ou moins exploitée et ressentie, et ne concerne (toujours à mon avis) qu'une petite partie du cerveau humain, la psychologie englobe toute la personnalité humaine, et elle s'attache à chaque individu, son vécu, ses émotions, ses sentiments.

[beagle]

d'abord merci Pseuda d'avoir repris la discussion.J'ai trop souvent regretté que les profs eux-mêmes ne parlent pas de pédagogie, de la manière d'enseigner telle ou telle notion que je ne peux pas me défiler sur ce fil de discussion.
Je n'ai à mon tour pas trop de temps aujourd'hui.Donc je reprendrai plus tard certains points.

Il reste un sacré blocage, une sacrée différence sur la présentation de indépendant et lié entre la manière de l'exposer de Pseuda, +- zygomatique (la définition épicetou, sauf que sa présentation aux élèves peut faire la différence), celle de Skullkid, excusé du peu qui nous dit que les termes en français correspondent très peu aux situations (??????) puisque on aurait très bien pu appeler cela des évènements jaunes (sic!) et la mienne et me semble-til Pascal que je comprends complètement.

Enfin bref , perso je vous ramènerai sur les ensembles, mais pour le moment restons sur le français,
des évènements, des probas sont liées ou indépendantes,
ben indépendant, il n' y a pas de rapport entre les deux.
liées ben il y a un lien entre les deux
filles-garçons fumeurs-non fumeurs
il ya 30 ans si fumeur, alors proba de garçons (fumeurs) plus élevée que proba fumeurs (garçons+fille)
il ya un lien entre les deux
de nos jours, je ne sais pas si c'est vrai mais imaginons, je prends un fumeur au hasard,
ben aucune raison de savoir si j'ai plus de chance d'avoir tiré un garçon qu'une fille.
C'est indépendant.
Essayez de faire cela avec du jaune pour voir!

[beagle]

toujours pas avec les ensembles, mais les évènements précèdent leur probabilité = la définition à partir des probas ne peut qu'ètre secondaire.En premier sont les évènements.
Lancer de deux dés, proba de faire deux fois le 1.
Souvent rien n'est précisé dans l'énoncé, la rédaction pour répondre à cet exo doit à un moment donné dire:
"on supposera les deux dés indépendants" (c'est plus poli que l'autoritaire "comme les deux dés sont indépendants" qui est la règle mais n' arien d'obligatoire).
Donc c'est parce que les deux dés sont indépendants que la proba que je calcule est 1/6 x 1/6

et ce n'est parce que je fais mon calcul 1/6 x 1/6 que je dis vous voyez bien qu'ils sont indépendants.

Bref il faut bien une définition EGALEMENT qui ne soit pas celle de epicetou de zygomatique et Skullkid.

[pascal16]

On est toujours dans une formation 'à l'envers' sur les probas.
_ On fait du dénombrement car on est en situation d'équiprobabilité.
_ On fait des arbres probabilistes
_ On fait des multiplication sur les branches menant à une issue (qui sur un arbre probabiliste tiennent compte du fait que les événements sont indépendants ou pas)
_ On fini par la formule de l'indépendance

Même si au lycée tu as la définition formelle, tu ne l'utilises pas
Il faudrait repartir de ça comme base pour répondre à toute question:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_d ... lit%C3%A9s

Et comme beaucoup de problèmes mathématiques, il faut ensuite démontrer que les chiffres calculés par des considérations topologiques sont bien les résultats analytiques observés.

[beagle]

On est toujours dans une formation 'à l'envers' sur les probas.
_ On fait du dénombrement car on est en situation d'équiprobabilité.
_ On fait des arbres probabilistes
_ On fait des multiplication sur les branches menant à une issue (qui sur un arbre probabiliste tiennent compte du fait que les événements sont indépendants ou pas)
_ On fini par la formule de l'indépendance

Même si au lycée tu as la définition formelle, tu ne l'utilises pas
Il faudrait repartir de ça comme base pour répondre à toute question:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_d ... lit%C3%A9s

Et comme beaucoup de problèmes mathématiques, il faut ensuite démontrer que les chiffres calculés par des considérations topologiques sont bien les résultats analytiques observés.

Bah oui mais on fait de l'arithmétique sans avoir bossé Péano, on fait de la géométrie euclidienne sans revenir aux axiomes etc...Donc on peut très bien avoir la fameuse formule et d'autres choses.Ce qui me surprend c'est de voir que de partir du basique en français, cela bloque chez Pseuda, et Skullkid nous dit en français cela ne dit rien de plus que si on avait appelé cela évènements jaunes.
alors sans parler de démonstration, du langage commun on déduit les formules et surtout on arrive à se repérer et comprendre à quoi on joue.Il me semble que c'est avec du langage basique et l'arbre ou le tableau comme j'avais mis en exemple une de tes réponses à un élève que l'on s'en sort parfaitement.Alors qu'une formule juste utilisée sans support de à quoi on joue, ben bof quoi!

[Pseuda]

Bonsoir,

Il y a des axiomes, comme toujours au début d'une théorie. Maintenant dans un problème, vous avez certainement remarqué que l'énoncé donne certaines probabilités, et qu'il faut en déduire d'autres. En général, celles qui sont données sont celles qui paraissent les plus évidentes intuitivement (probabilité de retomber sur face) mais pas toujours (probabilité de test négatif sur un bien portant). Dans les problèmes de terminale, on peut calculer la probabilité qu'a une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres inconnus, de se trouver dans un intervalle, connaissant deux mesures de probabilité. Bref, le problème est posé en sorte qu'on puisse répondre aux questions.

Pour revenir sur l'exemple de Beagle et des dés indépendants, il est supposé qu'on part du principe que si une expérience aléatoire est composée de 2 expériences indépendantes (on lance 2 dés indépendants), alors les événements issus de ces expériences sont toujours indépendants. C'est du non-dit dans la théorie (lien de pascal16), certainement pour alléger.

La définition de l'indépendance est toujours (dans tous les livres que j'ai lus) : P(A inter B) = P(A)*P(B). Elle a l'avantage (par rapport à l'autre P(B sachant A)=P(B)) d'être symétrique (ou d'être moins lourde que de l'écrire sous ses 2 aspects), et de ne pas avoir à donner une définition préalable à P(B sachant A). Vous avez certainement remarqué que dans certains exercices, on nous dit que A et B sont indépendants, et on doit alors calculer d'autres probabilités, alors que dans d'autres, on connait certaines probabilités liées à A et B, et on doit démontrer que A et B sont indépendants.

Bref les exercices sont conçus pour partir d'une intuition sur les probabilités de certains événements (données dans l'énoncé donc prises pour acquises), afin d'en calculer d'autres, moins évidentes (chances de gagner au loto en jouant 1 grille).

J'ai vraiment l'impression d'enfoncer des portes ouvertes, mais ma devise est : "on ne dit jamais l'évidence".

[beagle]

Je persiste à trouver dommage de donner la définition à partir du calcul, alors que le calcul se déduit de la situation.
Je n'imagine pas qu'un gars un jour se soit dit, c'est bizarre des fois le inter est le produit machin des deux et des fois non.Les gars ont examiné, regardé des situations différentes, ce sont dit tient dans celle là il y a un lien, dans celle là il n'y a pas de lien entre les deux.Dans un cas le sachant l'un renseigne , modifie l'autre, dans les autres cas connaître l'un n'apporte rien pour le deuxième.Et ensuite le calcul est évident, et les formules tombent d'elles-mème.

[Pseuda]

Je trouve ça dommage aussi. Mais en y réfléchissant je ne vois pas d'autre solution, ou d'autre solution similaire. Tu en as une ?

Je me rappelle avoir été très déçue de cette définition (dans ma lointaine année de terminale). Comment, on définissait ça comme ça, avec une pirouette, en donnant le résultat ?

Maintenant, la probabilité de l'intersection se comprend bien avec le maillage dont je parlais plus haut, mais cette intuition ne se provoque pas avec des événements comme celui de pascal16 (fumeurs/non fumeurs et filles/garçons), mais ça marche aussi (avec un calcul pas très naturel avec les cardinalités).

[beagle]

Je trouve ça dommage aussi. Mais en y réfléchissant je ne vois pas d'autre solution, ou d'autre solution similaire. Tu en as une ?

non, je n'ai pas encore sorti mes fiches pédagogiques.
Je pense que la solution vient du travail autour lors des exos comme vous le faites.Mais si cela n'est exprimé avec les mots, avec le doigt dessus sur le dessin de l'arbre ou le dessin du tableau comme dans l'exo corrigé par pascal, pluto que ma patate abstraite, il reste pour le début sur du tableau.Et c'est à ces moments là qu'on peut exprimer tout cela.Maintenant reste aussi à ètre convaincu qu'en faisant du tableau on fait du repérage ensembliste.Le sachant A ou le sachant B est la colonne ou la rangée machin.Et c'est un changement du 1, un changement d'ensemble.C'est la continuité du tout bète une fraction de fraction est la multiplication des fractions.Qu'est-ce d'autre qu'un changement d'unité, ma fraction est 1 et je la redivise en deux.C'est du gateau des fractions.ben lié ou indépendant cela se voit sur le tableau comme sur un gateau.

[beagle]

De manière très simple, comme déjà exposé dans premières pages.
D'abord avec l'arbre des probas:
deux branches de premier ordre p(A) et p(nonA)
la situation d'indépendance signifie que connaître connaître n'apporte rien aux probas de B, ce n'est pas lié, c'est évènements indépendants, ben tout simplement
des branches de premier ordre partent deux branches p(B) et p(nonB)
de façon identique

[Pseuda]

Bonjour,

Oui c'est une fraction de fraction (P(A inter B)= une fraction de P(A)), mais ni plus petite, ni plus grande que P(B).

On peut toujours faire l'arbre que tu cites en faisant partir les branches des tous les événements et leurs contraires de la racine, même si ces événements sont dépendants.

En résumé, pour moi, la relation d'indépendance se définit par P(A inter B) =P(A)*P(B) (parce que symétrique, il faudrait sinon dire ce qu'on entend par P(A sachant B), dit plus haut, etc...), même si on la verrait mieux (je te l'accorde) comme une propriété ou un résultat de cette relation d'indépendance, tout comme on définit les probabilités liées à une expérience aléatoire en en donnant certaines (c'est-à-dire par leurs résultats), quitte à en calculer d'autres.
Tout cela parce que grosso modo (à mon sens) il n'y a pas moyen de faire autrement. S'il y avait moyen, j'imagine qu'avec les générations de mathématiciens qui sont passés dessus, on aurait trouvé.

[beagle]

"
Tout cela parce que grosso modo (à mon sens) il n'y a pas moyen de faire autrement. S'il y avait moyen, j'imagine qu'avec les générations de mathématiciens qui sont passés dessus, on aurait trouvé."

tu confonds les maths et l'enseignement des maths.
La formule donnée de l'inter est bonne en maths, elle est utile pour bosser, pour démontrer.
Ce que la pédagogie interroge c'est à quel moment on donne cette défintion, et c'est quoi qui va avec (ou avant ou après)
Parce que là on est proche de l'absurdité de dire:
un triangle rectangle c'es la formule de Pythagore si et seulement si ...
Ben mathématiquement c'est vrai. Mathématiquement on s'en sert beaucoup.
Mais heureusement qu'un triangle rectangle c'est un triangle avec un angle droit.
C'est pas un triangle jaune défini avec Pythagore.

[beagle]

Ensuite à quel moment l'un , quel moment l'autre,
mais c'est clair que la notion d'indépendance ne peut pas se comprendre sans la notion de probas liées.
Donc les probas conditionnelles. Encore une fois, quel ordre et quels mots derrière.

Donc ces jours là, on a vu avec l'arbre.
idem avec les patates, ben Pascal a raison la situation ensembliste la plus simple,
c'est celle du tableau, et avec des données entières dans le tableau plutôt que des fractions.
Et là si A et non A ainsi que B et non B sont l'une en rangées l'autre en colonnes.
Il ya tous les sachant A, tous les sachant B en total rangées total colonnes

et là-dedans , ben quand c'est proportionnel c'est l'indépendance.
Indépendance: le % total des A est le (même )% des A dans le B et le (même )% des A dans le nonB.
ètre dans le B ou ètre dans le nonB ne me donnera aucun renseignement différent pour A.

Bon je vais arréter là.

[Pseuda]

Et comment définis-tu et calcules-tu P(A sachant B) ? Je vais arrêter là aussi sinon je vais finir par dire, comme Skullkid, que tu n'as pas le bagage nécessaire.

[beagle]

Et comment définis-tu et calcules-tu P(A sachant B) ? Je vais arrêter là aussi sinon je vais finir par dire, comme Skullkid, que tu n'as pas le bagage nécessaire.

oui , ben j'ai pas de bagages cela me permet d'avancer plus vite, parce que je sais pas ce que vous trimbalez.
ça fait quinze mille messages que je t'explique que le sachant B est juste un idiot, bète et sans bagage changement d'ensemble, changement d'unités, changement du 1.Dans le tableau B et nonB sont les colonnes (ou les rangées) alors que A et non A sont les rangées (ou les colonnes)
Le A sachant B c'est A qui est dans colonne B divisé par toute la colonne B.

Vous avez le niveau pour casser les gens vous par contre!