Analyse, intégrale de Riemann

[Etonnai]

Bonsoir, avant tout je vous remercie d'avoir cliqué sur le sujet pour décidé de m'aider.
Je suis sur un exercice d'Anlyse et je bloque déjà à la première question je ne sais pas par où attaquer le problème. En voici l'énoncé :
Exercice.
Soit f : [a, b] → C (C des complexes) une fonction (R)-intégrable.
(1) On suppose que f est continue et qu’il existe un point t0 ∈ [a, b] tel que
f(t0) 6= 0. Montrer qu’on peut trouver un intervalle non trivial [α, β] ⊆ [a, b]
et une constante η > 0 tels que |f(t)| ≥ η pour tout t ∈ [α, β].

(2) On suppose que f est continue. Montrer que si ,alors f = 0.
(3) Montrer que le résultat de (2) est faux si f n’est pas supposée continue.

Alors où j'en suis :
-J'ai déduit de l'énoncé que t0 appartient à [α, β] également que |f(t)| ≥ η ≥ 0
-f est une fonction (R) intégrable : g ≥ f ≥ g' avec g et g' deux fonctions en escaliers définit sur [a,b]
-|f(t)| représente le module de la fonction f il est égale donc à racine((Re(f))²+(Im(f))²) ≥ η ≥ 0 Dois-je partir de cette inégalité ?
Ma question Par où attaquer le problème de la question 1 ? Et comment procéder ?

[Ben314]

Salut,
Pour la question 1), le moins qu'on puisse dire, c'est que l'hypothèse "f(t0) 6= 0" n'est pas très claire (ou alors c'est un problème de fonte de caractères pas compatibles avec ma machine) -> Met toi au MimeTeX.
Mais c'est pas super grave vu que, rien qu'en regardant ce que tu doit en déduire, je suis a peu prés sûr d'avoir la réponse a ta question : il faut simplement utiliser la définition de ce qu'est une fonction continue (comme souvent).

Concernant ce que tu écrit : "J'ai déduit de l'énoncé que t0 appartient à [α, β] également que |f(t)| ≥ η ≥ 0"
Pour le moment ça veut franchement pas dire grand chose vu que tu explique pas qui est le η dont tu parle : pour démontrer que "il existe η tel que", ta prose doit évidement contenir à un endroit ou un autre "je prend η=..." ou un truc similaire.
Pour la suite, a moins que tu ne soit particulièrement "peu a l'aise" avec les complexes, je ne vois pas d'intérêt a "redescendre" au niveau des parties réelles et imaginaires des complexes manipulés. La simple constatation que le module d'un complexe est >=0 suffit pour conclure.

[Etonnai]

Merci pour ta réponse Ben, effectivement il y a eu une erreur de ma part dans l'énoncé c'est "f(t0) différent de 0".
Pour ce qui est de la définition d'une fonction continue j'ai dans mon cours :
Une fonction est dite continue sur un intervalle I si et seulement si pour tout x0 appartenant à I f est continue en x0
J'ai regarder dans mon cahier de lycée et j'ai retrouver que si le module d'un complexe est positif cela signifie qu'il possède une certaine longueur si on devait le représenter. Je pense que ma définition n'est pas celle que tu attendais, donc je n'arrive pas à avancer avec cela, comment faire ?

[Ben314]

Pour le moment, c'est bon et tu en déduit que, vu qu'elle est continue sur [a,b], elle est en particulier continue en t0.
Mais il faut continuer à "remonter" dans les définition, c'est à dire chercher la définition de "f est continue en t0".
Tu devrait trouver quelque part que ça signifie que .
Et, de nouveau, il faut "remonter" dans les définition" : c'est quoi la définition d'une limite ?
Et c'est là que le bas risque éventuellement de blesser si tu n'a jamais vu la définition rigoureuse de ce qu'est une limite (avec des )
Si tu as vu cette définition "propre", montre à l'aide de cette définition, que, si avec alors il existe un intervalle (non trivial) contenant tel que, pour tout , on ait .

[Etonnai]

D'accord je comprends, merci.
J'ai cette définition de la limite finie quand x tend vers un certains a :
∀ε > 0, ∃α(ε) > 0, ∀x; x ∈]a − α, a + α[⇒ f(x) ∈ ]b − ε, b + ε[. c'est bien celle-ci qui va me servir ?

Mais je comprends mieux cette définition de Wikipédia, donc si tu pouvais m'expliquer en prenant celle-ci :
Supposons que f : U → R soit une application définie sur un sous-ensemble U de l'ensemble R des réels. Si p est un réel, n'appartenant pas nécessairement à U mais tel que f soit « définie au voisinage 1 de p », on dit que f admet une limite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant
pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que |x – p| < δ, on ait |f(x) – L| < ε. Ce qui s'écrit :
∀ε > 0 ,∃ δ > 0 ,∀ x ∈ U ,|x - p| < δ ⇒ |f(x)-L|<ε

[Ben314]

Tout à fait.
Attention par contre à ne pas "manger la moitié des mots" : le truc en question, c'est la définition de "la fonction x->f(x) tend vers b lorsque x tend vers a"

[Etonnai]

Je peux m'en sortir pour prouver ce que tu m'as dit avec la deuxième définition que j'ai trouvé ?

[Ben314]

C'est exactement la même définition :
- Le nom de certaines lettres est changé, mais ça il faut absolument arriver comprendre qu'on s'en fout totalement.
- Au lieu d'écrire comme dans "ta" définition que, par exemple , celle de wiki écrit la même chose sous la forme ce qui revient exactement au même et il faut absolument que, dans ta tête, cette équivalence d'écriture te "saute aux yeux" vu qu'en analyse (dans R) on passe tout le temps d'une forme à l'autre (les deux signifiant en Français que " est proche de à moins de prés")

Après, concernant ces "mini différences", ça me semble parfaitement normal :
- Wiki donne celle "la plus jolie" (et qu'on peut transcrire sans problème au cas des complexes où les |.| deviennent des modules à la place des valeurs absolues)
- Ton prof a donné celle "moins jolie", mais éventuellement "plus facilement exploitable" dans le cas où on ne manipule que des limites dans R (donc avec un but plutôt "pédagogique" que "esthétique")

Bref, tu part de celle que tu veut, mais tu risque (éventuellement) de légèrement mieux voir le truc avec celle de ton propre cours.

[Etonnai]

D'accord merci pour ta remarque je mémorise et la prochaine fois ça ne m'arriveras plus, merci du conseil Ben !
Maintenant avec cette définition je l'ai réécrite pour :

Si
Je l'ai écrit :
∀ε > 0 ,∃ δ > 0 ,∀ t ∈ C ,|t - t0| < δ ⇒ |f(t)-l|<ε
Maintenant j'essaye d'arriver à :
Avec t ∈ [α, β] j'ai f(t) > (l/2)
J'essaye d'utiliser |f(t)-l|<ε mais je ne sais pas si c'est la bonne chose à faire ?

Ou en partant de celle de mon cours:
Signifie :
∀ε > 0, ∃α(ε) > 0, ∀t; t ∈]t0 − α, t0 + α[⇒ f(x) ∈ ]l − ε, l + ε[

Comment faire après ?En utilisant celle de mon cours, oublions celle de wiki.

[Ben314]

Si, c'est plus ou moins la bonne chose à faire.
Mais si tu n'a jamais manipulé ces définitions (avec des epsilon), je pense qu'il va te falloir quelques indication :
Lorsque l'on utilise ce type de définition, c'est à dire dans les cas où on sait par hypothèse que la phrase est vraie (attention à ne pas confondre avec les cas où on doit démontrer qu'elle est vrai), c'est systématiquement en disant que, vu que le truc est vrai "pour tout epsilon>0", il est en particulier vrai pour epsilon=???.
Le but étant bien sûr de trouver ce qu'on doit mettre à la place des ??? pour obtenir le résultat escompté (et ne pas oublier de vérifier systématiquement que ???>0 vu que la phrase dit "pour tout epsilon>0)

A toi de voir quel est "le bon" epsilon ici.

[Etonnai]

Ah d'accord merci de ta façon d'expliquer les choses , j'arrive à mieux comprendre comment m'en servir , pour moi ce "bon epsilon" qu'il faut que je choisissent ici est η ce qui en plus justifierait ce que tu m'avais dit plus haut, qu'un moment ou un autre je devrais dire je prend η tel que ou η= , alors je pense que le bon epsilon est η car en plus dans l'énoncé on nous dit que η>0 , ai-je bien compris ?

J'ai maintenant réussi à terminer le 1) je suis maintenant au 2) est-ce qu'un raisonnement par l'absurde est une bonne idée ?

[Ben314]

Pas trop compris ton "η= ..." çi dessus (ms j'ai pas trop cherché à comprendre non plus...)
Partant de là :

∀ε > 0, ∃α(ε) > 0, ∀t; t ∈]t0 − α, t0 + α[⇒ f(x) ∈ ]l − ε, l + ε[

C'est assez clair qu'il suffit de prendre ε=/2 pour que f(x) ∈ ]− ε, + ε[ implique f(x)>/2.
(on peut évidement prendre autre chose, par exemple ε=/10 pour obtenir comme résultat que f(x)>9/10 )

Concernant la question 2), je pense que tu as plus que fortement intérêt à montrer la contraposée de ce qu'on te demande, i.e. que si f n'est pas identiquement nulle, alors l'intégrale n'est pas nulle.
Ensuite, modulo d'avoir vu que, si f:[a,b]->C est continue, alors |f|:[a,b]->R+ l'est aussi, tu te fout pas mal des complexes et il te suffit de raisonner avec |f|:[a,b]->R+ qui est continue, à valeurs positives ou nulles et qui, par hypothèse, prend au moins une valeur non nulle.
Du 1) tu déduit qu'il existe η > 0 telle que |f(t)|>η sur un certain intervalle puis tu utilise les propriétés connues (et basiques) des intégrales pour conclure que l'intégrale sur [a,b] ne peut pas être nulle.

[Etonnai]

Merci pour ta réponse Ben, c'est ce que j'avais prit j'ai oublier de réediter mon message pour dire que j'ai choisis η =l/2. Mais j'ai réussi grâce à toi, merci!

Pour la 2 je voulais partir de cette propriété :
Si f est supérieur ou égale à 0 alors intégrale de f est supérieur ou égale à 0
Or ici on a η > 0 telle que |f(t)|>η donc |f(t)|> 0 donc intégrale de |f(t)|>0 donc différent de 0. C'est bien ça ?

Le temps que valides, j'ai pensé à la question 3) pour moi il faudrait prendre une fonction nulle sauf en un point comme par exemple f=x si x=1 sinon f=0 , je pense que ça peut marcher ?

[Ben314]

Non, ce n'est pas aussi "simple" que ça.
Déjà, je pense que dans ton cours, tout ce que vous avec montré, c'est que, si (supérieure ou égale à 0) sur [a,b] et intégrable, alors (de nouveau supérieure ou égale à 0).
Et ça m'étonnerais fort que vous ayez vu en cours le même résultat avec des inégalités strictes (je ne pense pas l'avoir jamais vu)

Donc, même en ayant comme hypothèse que sur un intervalle, ça te donne uniquement comme résultat.
Sauf que là, tu as "mieux" que f>0, à savoir sur un certain intervalle où est une constante >0.

Pour la 3, c'est bien ça, modulo que ça serait plus simple d'écrire que f(1)=1 plutôt que f(x)=x pour x=1

[Etonnai]

Ah effectivement je n'avais pas vue ce détail qui a son importance.

Donc je pense qu'il faut utiliser la propriété de comparaison de l'intégrale ?
Si f est supérieur ou égale à g alors intégrale de f est supérieur ou égale à intégrale de g

Ici f est supérieur ou égale à η donc intégrale de f est supérieur ou égale à η or η >0 donc intégrale de η>0 donc intégrale de f > 0 où ce n'est pas encore ça ? (J'ai un doute car f et g sont des fonctions dans ma propriété , or η est une constante, cela fonctionne t-il ?) Sinon pourrais-tu me donner la propriété car je n'en vois pas d'autre merci.

Pour la 3) j'ai fais soit f la fonction avec f(1)=1 sinon 0
Intégrale de 0 à 1 de f(x) = F(1)-F(0)
Mais j'y pense comment calculer la primitive de cette fonction définies par morceaux ? F(1)=x et F(0)= une constante ?

[Ben314]

C'est "grosso modo" ça, sauf qu'il faut tout écrire bien comme il faut, vu que, en particulier, n'est pas vrai sur tout l'intervalle, mais seulement sur un petit morceau.
Donc il faut écrire que :
1) car et que sur (voire même détailler un peu plus en écrivant bien que où, à droite, la 1ère et la 3em intégrales sont )
2) car, sur cet intervalle là, on a
3) où on voit bien que, pour conclure, il faut et

[Etonnai]

D'accord merci beaucoup Ben pour ta précieuse aide je comprends mieux mon exercice !
Pour la 3) j'ai fais soit f la fonction avec f(1)=1 sinon 0
Intégrale de 0 à 1 de f(x) = F(1)-F(0)
Mais j'y pense comment calculer la primitive de cette fonction définies par morceaux ? F(1)=x et F(0)= une constante ?

[Ben314]

Justement, la fonction en question, elle n'a pas de primitive.
Ton cours doit textuellement dire "toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle" et rien d'autre.
Après, à la limite, c'est pas con de savoir qu'il existe des fonctions non continues qui admettent des primitives (mais c'est pas trop "fréquent" d'en rencontrer...) mais il faut surtout savoir que la plupart des fonctions non continues n'ont pas de primitive
(rappelons bien que F est une primitive de f signifie que F est dérivable et que sa dérivée est f).
Bilan, pour montrer que l'intégrale en question est nulle, soit tu revient à la définition (fastoche vu qu'en fait ta fonction est une fonction "en escalier") soit tu le fait avec des encadrements, du style couper l'intégrale de 0 à 1 en une intégrale de 0 à epsilon plus une intégrale de epsilon à 1 : tu encadre la première et tu calcule la deuxième.
Sauf qu'avec cette deuxième méthode, c'est pas super clair de savoir si tu aura démontré ou pas l'intégrabilité de la fonction en question, donc vu que c'est trivial, je suggérerais plutôt d'utiliser la première méthode.

[Etonnai]

Ah d'accord c'est vrai que c'est logique ! Je me coucherai moins bête ce soir

Pour ce qui est de la définition tu parles bien de celle de l'intégral pur et dur on est d'accord ?
Je me demandais l'énoncé demande de prouver que c'est faux si f n'est pas continue donc en prenant une fonction particulière f qui n'est pas continue je répond tout de même à l'énoncé je ne suis pas obliger de prendre f une fonction non continue dans le cas général ?

[Ben314]

Oui, je parle bien de la définition "carré" que tu as forcément vu vu que tu parle "d'intégrale de Riemann" (alors que, tant qu'on a rien vu de "carré" sur les intégrales, on parle simplement d'intégrales sans préciser "de Riemann")

Et sinon, oui, vu la formulation du 2), on te demande uniquement UN exemple où le résultat du théorème est faux.
Et, bien sur, vu que le résultat est vrai pour toute fonction continue, si tu veut qu'il soit faux, il te faut aller chercher du coté des fonctions non continues...