Pas trop compris ton "η= ..." çi dessus (ms j'ai pas trop cherché à comprendre non plus...)
Partant de là :
Etonnai a écrit:∀ε > 0, ∃α(ε) > 0, ∀t; t ∈]t0 − α, t0 + α[⇒ f(x) ∈ ]l − ε, l + ε[
C'est assez clair qu'il suffit de prendre ε=
/2 pour que f(x) ∈ ]
− ε,
+ ε[ implique f(x)>
/2.
(on peut évidement prendre autre chose, par exemple ε=
/10 pour obtenir comme résultat que f(x)>9
/10 )
Concernant la question 2), je pense que tu as plus que fortement intérêt à montrer la contraposée de ce qu'on te demande, i.e. que si f n'est pas identiquement nulle, alors l'intégrale n'est pas nulle.
Ensuite, modulo d'avoir vu que, si f:[a,b]->C est continue, alors |f|:[a,b]->R+ l'est aussi, tu te fout pas mal des complexes et il te suffit de raisonner avec |f|:[a,b]->R+ qui est continue, à valeurs positives ou nulles et qui, par hypothèse, prend au moins une valeur non nulle.
Du 1) tu déduit qu'il existe η > 0 telle que |f(t)|>η sur un certain intervalle puis tu utilise les propriétés connues (et basiques) des intégrales pour conclure que l'intégrale sur [a,b] ne peut pas être nulle.