Exercice d'Analyse fonction Riemann intégrables

[Etonnai]

Bonjour, avant tout merci de prendre de votre temps pour m'aider dans la résolution de mon exercice.
Montrer que si α1, β1, α2, β2 sont des nombres réels tels que α1 ≤ β1
et α2 ≤ β2, alors max(β1, β2) − max(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2) et min(β1, β2) −
min(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2). En déduire que si f et g sont deux fonctions
(R)-intégrables sur [a, b], alors les fonctions f ∨ g et f ∧ g sont (R)-intégrables. (Voir
l’Exercice 5 pour la définition de f ∨ g et f ∧ g. c à d : f ∨ g signifie max(f,g) et f ∧ g signifie min(f,g) )

Alors voici où j'en suis :

Puisque α1 ≤ β1 et α2 ≤ β2 alors 0 ≤ (β1 − α1) et 0 ≤ (β2 − α2) donc : 0 ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2)
Ensuite pour les mêmes raisons :
max(α1, α2) ≤ max(β1, β2) ainsi : 0 ≤ max(β1, β2) − max(α1, α2)

J'aboutit donc à cette conclusion : 0 ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2) + max(β1, β2) − max(α1, α2)
Ce qui donne : − max(β1, β2) + max(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2)
Ce qui n'est pas : max(β1, β2) − max(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2)

J'ai donc du faire une erreur dans mon raisonnement quelque part mais je ne vois pas du tout malgré plusieurs tentatives sur cette question... Je tourne en rond avec cette même inégalité.

Merci d'avance pour toute aide !

[Ben314]

Salut,
Il faut bien voir que, partant des deux inégalités (justes) que tu as démontré dans le premier paragraphe qui sont de la forme TRUC>=0 et BIDULE>=0, j'ai un peu de mal à comprendre comment tu compte t'y pendre pour en déduire que TRUC>=BIDULE.
Bref, tes deux inégalités sont correctes mais très clairement insuffisantes pour conclure.

A mon avis,
1) Sans réfléchir du tout, il suffit d'envisager les différents cas de figure (il n'y en a... pas beaucoup...)
2) En réfléchissant un peu (mais pas trop), on peut éventuellement utiliser des notion de symétrie (du style "quite à échanger... ça coute rien de supposer que...") pour encore limiter les cas.
3) En réfléchissant plus (mais ça fatigue...) on doit pouvoir s'en sortir sans étude de cas (mais j'ai pas vu du premier coup d'œil comment : je regarde...)

[Etonnai]

Je te remercie de ta réponse rapide, je vais m'y remettre de suite pour essayez tout ça !

[aymanemaysae]

M. Etonnai, est-ce que l'énoncé que vous avez édité est l'énoncé original ou bien c'est une étape dans votre tentative pour résoudre le problème: je dis ça, parce que notre professeur nous a donné un exercice similaire mais qui contenait les étapes à suivre.

[Etonnai]

Bonjour M.Aymanemaysae, non c'est l'énoncé type que j'ai à résoudre.

[aymanemaysae]

Puisque c'est l'énoncé original, donc vous aurez pour résoudre le problème de la valeur absolue à différencier entre quatre cas:

1) Si et

donc on a et donc .

2) Si et

3) Si et

4) Si et

commencez par le n° 1 , pour la suite on verra.

[Etonnai]

Donc voici pour le 1 )
max(β1, β2)=β2 max(α1, α2)=α2 Donc :
max(β1, β2)- max(α1, α2)=β2-α2 ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2)

J'ai fais de même pour les 3 autres, à partir de là que dois-je faire, dire uniquement les cas pour lesquels l'inégalité est valable ?

[Ben314]

J'ai fais de même pour les 3 autres, à partir de là que dois-je faire, dire uniquement les cas pour lesquels l'inégalité est valable ?

Ben... évidement que oui...
Sauf que, si l'énoncé est juste (et il l'est...) tu devrait trouver que les "cas pour lesquels l'inégalité est valable" c'est... tout les cas...

Sinon, perso., j'aurais quand même "un peu" réfléchi (mais pas trop...) en commençant par dire que, vu les hypothèses ça coutait que dalle de supposer que, par exemple ce qui ne faisait que deux cas à traiter au lieu de 4.

[aymanemaysae]

Donc pour tous les cas vous avez trouvé que , donc l'inégalité est toujours valable.

En ce qui concerne la déduction pour min(f,g) et max (f,g) M. Ben314 est plus habilité à vous aider à y arriver: j'ai peur de faire des erreurs de raisonnement.

[Etonnai]

J'ai réussi la première partie de l'exercice merci beaucoup Ben314 et aymanemaysae pour votre aide.
Pour la deuxième parties, il faut raisonner de même façon que la première en séparant les cas ? f ≤ g et g ≤ f ?

J'oublier de rajouter en cours, j'ai eu cette définition d'une fonction intégrables au sens de Riemann :

f est Riemann-intégrable sur [a,b] si et seulement si, pour tout ε>0 il existe deux fonctions étagées E et e sur [a,b], vérifiant: e≤f≤E et ∫baE(x)dx−∫bae(x)dx≤ε

[aymanemaysae]

A mon avis, la déduction n'est pas facile: il faudrait peut-être l'aide de M.Ben314 .

J'ai la démonstration dans le cours (Opérations sur les fonctions intégrables) et je peine à comprendre toutes les étapes.

[Etonnai]

Oui je pense l'enseignant nous l'avez dit que c'était une preuve à démontrer qui n'était pas trivial, qu'on pouvait peut-être trouvé, mais je peine à la trouver quelque part et à y aboutir, pourriez vous me montrer comment vous l'avez vous vue en cours ?

[Ben314]

Pour la deuxième parties, il faut raisonner de même façon que la première en séparant les cas ? f ≤ g et g ≤ f ?

Non, et c'est archi. important de comprendre pourquoi :
- Dans R, lorsque l'on prend deux réels a et b, on a forcément ou bien (on dit qu'on a affaire à une relation d'ordre totale) donc, évidement, min(a,b), c'est soit a, soit b.
- Sur l'ensemble des fonction, c'est pas du tout comme ça que ça marche. Si tu prend deux fonctions f et g "au pif", il y a fort a parier que tu aura pour certains x, mais pas pour tous (je te laisse le soin de prendre un exemple) or, par définition, d'écrire que , ça veut dire que pour tout les x (du domaine considéré).
Bref, en général, lorsque tu prend deux fonction quelconques et tu n'a ni , ni et qu'en conséquence , ce n'est ni , ni , mais une troisième fonction dont certains "morceaux" proviennent de et d'autres proviennent de (ton prof. a pas fait des dessins pour montrer à quoi ça correspond ?)

Bilan, c'est bien plus compliqué qu'une simple disjonction de cas : il te faut écrire proprement la définition de ce que signifie "f est Riemann intégrable" dans ton cours (je pense que ça consiste à dire qu'il existe deux fonctions en escalier telles que...) et celle de "g est Riemann intégrable" (deux nouvelles fonction en escalier qui apparaissent)
Puis avec ces 4 fonctions en escalier, il faut que tu en fabrique deux nouvelles qui vont permettre de prouver que est intégrable (et c'est pour montrer que les deux fonctions en escalier construite ont une certaine propriété que tu va avoir besoin du préliminaire de l'exercice)

[Etonnai]

J'ai donc après avoir écrit le blabla de la définition
t ≤ f ≤ t' et k ≤ g ≤ k' avec t,t',k et k' 4 fonctions en escaliers
Je pensais prendre tk et t'k' 2 nouvelles fonctions en escaliers :
Ainsi mais je ne suis pas sûr du tout max(tk,t'k')≤tk-t'k'
Je pense que je peux écrire :
tk ≤ f g ≤ t'k' mais après je ne vois pas comment bien utiliser le préliminaire de l'exercice , je sais bien que je ne peux pas passer directement à tk ≤ max(f,g) ≤ t'k' mais que c'est ce à quoi je dois aboutir, merci de m'éclairer ...

[Ben314]

J'ai donc après avoir écrit le blabla de la définition
t ≤ f ≤ t' et k ≤ g ≤ k' avec t,t',k et k' 4 fonctions en escaliers <- Jusque là O.K.
Je pensais prendre tk et t'k' 2 nouvelles fonctions en escaliers : <- Si tu ne dit pas qui tu prend comme nouvelle fonction, tu ne va évidement pas aller bien loin (en particulier, je vois pas comment tu pourrait démontrer quoi que ce soit concernant ces deux fonctions AVANT d'avoir dit à quoi elles sont égales)

Arrivé à ce point, il faut que tu écrive textuellement :
Je prend s=... et s'=...
pour ensuite montrer que ces fonctions répondent bien au problème, c'est à dire que ce sont toutes les deux des fonctions en escalier qui "encadrent" la fonction f^g (y'a qu'a dire qu'on commence par celle là) et telles que la différence entre les intégrales de s et de s' soit "petites".
As tu une idée de ce quoi prendre pour s et s' (c'est quand même assez intuitif)

[Etonnai]

s= tt' et s'=kk'
ou s=tk et s'=t'k' ?

[Ben314]

Intuitivement parlant, tes fonctions et sont "presque égale" à f (mais l'une est plus petite et l'autre plus grande).
Donc, la fonction que tu propose est (sans doute) "presque égale" à et je ne vois pas bien le rapport avec .
De même, la fonction va (sans doute) être "presque égale" à qui n'a rien a voir avec .
Enfin bref, si tu veut que tes fonction soient "presque égale" à , tu as pas trop le choix, il faut prendre du ou du ou des trucs dans le genre avec une des deux fonctions "presque égale" à , l'autre "presque égale" à et, évidement un symbole entre les deux.
Pour le moment, ça te fait 4 possibilité (selon qu'on mette ou pas des primes). Sauf qu'il faudrait arriver ensuite à montrer que, parmi les deux fonctions qu'on va prendre, il y en a une plus petite que et l'autre plus grande que . A ton avis on va prendre quoi ?

[Robot]

Petit retour en arrière.

Puisque et , on a , qui équivaut à , ou encore à .

[Ben314]

Bien joué...

[Robot]

Pour la deuxième partie, le raisonnement avec les sommes de Darboux est relativement simple.
On fixe , on peut trouver une subdivision de pour laquelle la différence entre somme de Darboux supérieure et somme de Darboux inférieure est plus petite que à la fois pour et pour . On en déduit alors, en utilisant la première inégalité, que la différence entre somme de Darboux supérieure et somme de Darboux inférieure pour est plus petite que .
A savoir maintenant si l'intégrale de Riemann a été introduite en utilisant les sommes de Darboux.