Intégrale de Riemann/Lebesgue

[mimi59]

Bonsoir,

la différence entre les fonctions Riemann-intégrable et celles qui sont lebesgue-intégrale n'est pas très clair pour moi..

Pourriez vous ,s'il vous plaît, me donner des exemples de fonctions qui sont Riemann intégrables et non lebesgue intégrable? et d'autres exemples de fonctions qui sont Lebesgue intégrable et non Riemann intégrable?

Aussi, comme par exemple sint/t est une intégrale impropre mais peut-on dire qu'elle est Riemann intégrale? et pourquoi?


bref toute information est la bienvenue!
merci beaucoup d'avance!

[serge75]

Le fonction caractéristique de Q (qui vaut 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels) est intégrable au sens de Lebesgue sur [0,1], d'intégrale nulle (car étagée - elle ne prend que 2 valeurs et l'intersection de Q avec [0,1] est mesurable de mesure nulle car dénombrable), mais n'est pas intégrable au sens de Riemann (toute fonction minorante en escalier est <=0 sauf éventuellement aux points de la subdivision tandis que toute fonction majorante est >=1 sauf aux mêmes points).

Par contre toute fonction Riemann-intégrable l'est au sens de Lebesgue.
Ce qui devient délicat, c'est quand on considère les intégrales généralisées (qui ne sont pas à proprement parler des intégrales de Riemann, mais que j'appellerai ici intégrales de Riemann généralisée) :
Le résultat est le suivant : si f est localement intégrable sur I au sens de Riemann, alors f est intégrable au sens de Lebesgue sur I ssi son intégrale généralisée est absolument convergente.

Serge

[jacques26]

Toute fonction Riemann intégrable est Lebesgue intégrable.
La fonction :de R dans [0,1] ,f(x)=1 si x dans Q,f(x)=0 dans [0,1]-Q est Lebesgue -intégrable mais n'est pas Riemann- intégrable.
Regardez dans Wikipedia rubrique intégrale de Lebesgue pour la comprehension.

[mimi59]

Merci bien à tous les 2!

une autre petite question: (f est intégrable si valeur aboslue(f) est intégrable) est vraie au sens de Riemann? par contre l'équivalence est fauuse au sens de Riemman,mais vraie au sens de Lebesgue,non?