Isomorphisme d'anneaux

[Ncdk]

D'accord, sinon j'avais regardé un peu sur les anneaux quotient et j'ai trouvé ça :

Soit un morphisme d'anneaux dont l'anneau de départ est noté A. Alors :




On sait que , dans la logique des choses, on devrait avoir que

Du coup c'est finit en passant par cette propriété, encore faut-il prouver l'image de

[MouLou]

Oui, et on revient au tout premier post que j ai fait sur ce topic . Implicitement je te demandais de montrer cette propriete

[Ncdk]

Ah oui, mais comme j'avais pas entendu de cette propriété, je vais quand même vérifier dans mes anciens cours, mais elle me dit absolument rien.

Je vais essayer d'en parler à mon prof aujourd'hui, car je comprends pas la logique des trucs, je vais aussi reprendre l'exercice à tête reposé ou essayer de voir des exercices dans le même genre, ça viendra surement.

Sinon, comment aurais-tu corriger cette question, pour voir les détails et le cheminement de la réponse, ça pourrait me donner un exemple (car des questions comme ça, j'en ait trouvé d'autres corrigé mais je me suis pas encore attardé dessus)

Merci de ton aide en tout cas

[MouLou]

Oui et on revient exactement au premier post que j ai ecrit

[MouLou]

Oui et on revient exactement au premier post que j ai ecrit

merde jsuis débile je croyais que j vais pas envoyé le message...

[MouLou]

Ah oui, mais comme j'avais pas entendu de cette propriété, je vais quand même vérifier dans mes anciens cours, mais elle me dit absolument rien.

Je vais essayer d'en parler à mon prof aujourd'hui, car je comprends pas la logique des trucs, je vais aussi reprendre l'exercice à tête reposé ou essayer de voir des exercices dans le même genre, ça viendra surement.

Sinon, comment aurais-tu corriger cette question, pour voir les détails et le cheminement de la réponse, ça pourrait me donner un exemple (car des questions comme ça, j'en ait trouvé d'autres corrigé mais je me suis pas encore attardé dessus)

Merci de ton aide en tout cas

Je pense que la solution que t as donné zygomatique est tres bien, bien qu elle nécessite d être à l'aise avec les quotients pour être bien comprise. Si tu veux j essayerai un corrigé en fin d aprem

[Ncdk]

Je veux bien oui, je vais noter celle de zygomatique aussi, mais comme je suis pas à l'aise avec les quotients, c'est comme si c'était du nouveau.

[Robot]

S'il y a une chose à retenir concernant le quotient d'un anneau par un idéal , c'est celle-là :
L'application qui à élément fait correspondre sa classe modulo est un homomorphisme surjectif de noyau .

[MouLou]

Salut. Voila ce que je propose comme démo.

Soit un morphisme d'anneau surjectif et J un idéal de B.

Je sais pas si tu le maitrise bien, mais je te laisse vérifier qu'on peut munir l'ensemble quotient d'une structure d'anneau via:

où
où .

Revenons à la demo.

On va noter la projection canonique de B sur .

Soit alors définie par

Alors on a .

On considère maintenat l'anneau quotient et l'application définie par où est un représentant quelconque de X.

4 choses à vérifier:

1) h est bien définie:
Si alors il existe tel que
Mais alors car .
Cela signifie que cl(x)=cl(y)=> h(cl(x))=h(cl(y)) et donc h est bien définie (ne dépend pas du représentant de la classe).

2) h est injective:

Si h(X)=0 et si x est un représentant de X
, cela signifie que g(x)=0 et donc que et donc que X=0 est la classe de x dans .

3)h est surjective:

Si , soit y un représentant de Y. comme f est surjective, il existe tel que y=f(x). Ceci signifie que g(x)=Y. A ce moment la, X=cl(x) vérifie: h(X)=Y. Donc h est surjective.

4)h est un morphisme d'anneaux:

Soient X et Y deux éléments de , x et y leurs représentants. Alors par la strucutre d'anneau que j'ai donnée, xy est un représentant de XY, et . Idem pour la somme....

Donc on a montré que h est un morphisme bijectif d'anneaux. Donc les deux anneaux sont isomorphes.

J'espère n'avoir pas écrit de betises, ou pas fait trop compliqué... S'il y'a des choses pas claires n'hésite pas.

Edit: Merci Robot

[Robot]

... et B un idéal de I.
...
J'espère n'avoir pas écrit de betises ...

Au moins une coquille. :lol3:

[Ncdk]

Bonsoir,

Désolé pour le temps de réponse, c'est excellent merci, l'histoire de classe on a fait un rappel dessus, c'était pas ce qu'il y avait de compliqué

En fait ce qui m'a gêné c'est l'idée d'observer le Ker(g) et qu'au final on tombe sur la bonne chose
C'est dut à la propriété que j'avais trouvé et que j'ai posté dans les posts plus haut ?

[MouLou]

Bonsoir,

Désolé pour le temps de réponse, c'est excellent merci, l'histoire de classe on a fait un rappel dessus, c'était pas ce qu'il y avait de compliqué

En fait ce qui m'a gêné c'est l'idée d'observer le Ker(g) et qu'au final on tombe sur la bonne chose
C'est dut à la propriété que j'avais trouvé et que j'ai posté dans les posts plus haut ?

Si je comprends bien ton message je dirais que oui. C'est le théorème de factorisation. En fait l'idée est très simple. Tu prends le noyau, et en quotientant par le noyau tu confonds tous ses éléments en un seul, ce qui fait qu'elle devient injective comme par magie. (En fait la magie c'est aussi que tu conserves bien une application en confondant tous les éléments modulo le noyau)

[Ncdk]

D'accord, je te remercie, j'ai une question qui ressemble à celle-là sur mon DM, je vais essayer de voir si c'est vraiment ressemblant ou pas du tout