Isomorphisme de groupe Z/pZ

[ThSQ]

des anneaux non factoriels dans lesquels un certain élément intéressant x se factorise de manière unique en irréductibles.

C'est déjà pas évident de trouver les irréductibles même dans des anneaux "bien élevées" (les principaux étant les plus sympatoches).

As-tu un exemple (pas trop ad-hoc) dans un anneau vraiment pas bien élevé (pas Noethérien, ni factoriel oeuf corse) d'une telle décomposition "intéressante" (x pas irréductible lui-même, hein !)?


Léon, je te propose exo :

- trouver un anneau (hors cas triviaux (corps ...)) intègre sans aucun élément irréductible. (j'ai un exemple mais je serais curieux de voir combien tu peux nous en trouver)


Sinon, un anneau de Krull n'est-il pas la meilleure structure pour parler de ça ?

[SimonB]

En tous cas, merci pour toutes ces réflexions d'algèbre commutative léon. C'est passionnant, même pour un gros nul comme moi.

[leon1789]

As-tu un exemple (pas trop ad-hoc) dans un anneau vraiment pas bien élevé (pas Noethérien, ni factoriel oeuf corse) d'une telle décomposition "intéressante" (x pas irréductible lui-même, hein !)?

Désolé, mais là, ça ne me revient pas.

Léon, je te propose exo :

- trouver un anneau (hors cas triviaux (corps ...)) intègre sans aucun élément irréductible. (j'ai un exemple mais je serais curieux de voir combien tu peux nous en trouver)

Je vais encore prendre un anneau de valuation non discrète (comme l'autre jour) :
soit l'anneau intègre A := Z[T^s | s \in Q+*]
soit la partie multiplicative S = {P de A | terme constant de P différent de 0}
soit l'anneau localisé B := S^{-1} A

C'est la valuation en T qui donne une structure d'anneau de valuation à B
Les valuations des éléments de B appartiennent à Q+
Les inversibles ont une valuation nulle, les autres une valuation dans Q+*
Or Q+* n'a pas de plus petit élément
donc tout élément non inversible de B se factorise : par exemple
T+T^2= T^{1/2}( T^{1/2} + T^{3/2} )

[yos]

>, je vais commencer par écrire une relation de Bézout. Avec un peu de chance, cette preuve sera directe...
Et vous ?

Sans Bezout?
r,s,t les trois ordres.
donc , donc r|t. De même s|t, et donc rs|t.
t|rs est trivial.

[leon1789]

Sans Bezout?
r,s,t les trois ordres.
donc , donc r|t. De même s|t, et donc rs|t.
t|rs est trivial.

Pour démontrer , tu fais comment ? Bézout :we:

( et pour (r|t et s|t et r^s=1) => rs|t ? Bézout aussi :we: )

[yos]

Le premier, Lagrange.
Le second propriété caractéristique du ppcm.

[leon1789]

Le premier, Lagrange.
Le second propriété caractéristique du ppcm.

ok aussi :id:

[ffpower]

Quelle idée de chercher une demo sans Bezout lol.C est dans le but de généraliser lol?dans le cas d un groupe ou l ordre des éléments est dans un anneau quelconque XD

[yos]

Quelle idée de chercher une demo sans Bezout lol.

Quelle idée de faire des maths?

[ThSQ]

Désolé, mais là, ça ne me revient pas.

Je vais encore prendre un anneau de valuation non discrète (comme l'autre jour) :

Marrant j'avais un exemple comme ça : mais j'avais pas pensé à généraliser à un anneau de valuation.


Tu m'as pas répondu sur les anneaux de Krull ? :cry2:


(yos, à toi)

[yos]

- trouver un anneau (hors cas triviaux (corps ...)) intègre sans aucun élément irréductible. (j'ai un exemple mais je serais curieux de voir combien tu peux nous en trouver)

L'anneau (local) ça marche pas?

[ThSQ]

Hé, c'est pas à moi que tu es censé posé les questions !

[yos]

Tu m'as pas répondu sur les anneaux de Krull ?

Il est sur sa chaise, compulsant la petite encyclopédie des mathématiques illustrée : krill, kruger, krustacé,... ya pas krull!!

[leon1789]

L'anneau (local) ça marche pas?

D n'est pas un anneau local , mais un anneau principal comme Z, avec deux idéaux maximaux en moins.

Sinon, un anneau de Krull n'est-il pas la meilleure structure pour parler de ça ?

Des anneaux de Krull non noethériens... je ne sais pas

Il est sur sa chaise, compulsant la petite encyclopédie des mathématiques illustrée : krill, kruger, krustacé,... ya pas krull!!

Ben en fait, j'ai pas mes Bourbaki sous la main : ils en parlent juste avant les anneaux de Dedekind. ... :triste:

[leon1789]

Quelle idée de chercher une demo sans Bezout lol.C est dans le but de généraliser lol?dans le cas d un groupe ou l ordre des éléments est dans un anneau quelconque XD

Avec Bézoute, plus bezoin de nombres premiers, Lagrange, de ppcm, ... Heureux celui qui connait Biloute :ptdr:

[yos]

D n'est pas un anneau local , mais un anneau principal comme Z, avec deux idéaux maximaux en moins.

Voui je m'égare : D est le localisé de Z pour la partie multiplicative constituée des puissances de 10.
localisé n'est pas local (il faut je crois que la partie multiplicative S vérifie A-S idéal premier).
Mais est-ce que D réponds à la question de teachescu?

[leon1789]

Mais est-ce que D réponds à la question de teachescu?

non car il voulait un anneau dans lequel il n'existe pas d'élément irréductible. (et ici, D est principal)

[yos]

Ah oui je viens de comprendre. Merci.

[ThSQ]

D n'est pas un anneau local , mais un anneau principal comme Z, avec deux idéaux maximaux en moins.


Des anneaux de Krull non noethériens... je ne sais pas

Sinon D = Z[1/10] donc il est Noetherien comme extension simple d'un Noetherien pour attendre.

Et mon Krull alors ?


(yos !!, alors .... ??)

[yos]

Et mon Krull alors ?
(yos !!, alors .... ??)

Je suis d'accord avec toi. L'intérêt des anneaux de Krull, c'est que leurs localisés, anneaux de polynômes, de séries formelles, fermeture intégrale, ... sont aussi Krulliques. Mais c'est à Léon de nous expliquer tout ça : moi je suis resté aux groupes : deux lois c'est une de trop.