Isomorphisme d'anneaux
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Axeldinh
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par Axeldinh » 13 Mai 2018, 15:00
Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice dans lequel je dois prouver que l’anneau quotient C[x, y]/<(x+1)(y−1)i> est isomorphe au sous-anneau de C[x] × C[y] des paires de polynômes (P(x), Q(y)) tel que P(−1) = Q(1).
J'ai d'abord pensé utiliser le premier théorème d'isomorphisme en prenant phi : C[x,y] -> {sous-anneau de C[x] x C[y]}, et en calculant son noyau. Mais je n'arrive pas à définir l'homomorphisme phi. Est- ce que vous avez des idées ?
Merci d'avance !
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Mimosa
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par Mimosa » 13 Mai 2018, 15:29
Bonjour
La famille
pour
est une base de
. Ecris un polynôme
sur cette base, et regarde...
PS: Dans C[x, y]/<(x+1)(y−1)i> il y a bien un i?
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Ben314
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par Ben314 » 13 Mai 2018, 17:31
Salut,
Sinon, concernant ta question, si tu veut construire un morphisme de
dans
, ce qui devrait te venir à l'esprit, c'est les applications de la forme
avec
fixé.
De même pour les morphisme de
dans
: ceux de la forme
(avec
fixés) semblent on ne peut plus naturels.
Et si tu prend un soupçons de recul, en fait, ces trucs, ce sont les morphismes classiques "d'évaluation" :
pour
fixé où tu as regardé
comme du
avec
(ou bien comme du
avec
).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Axeldinh
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par Axeldinh » 14 Mai 2018, 16:16
Salut,
D'abord oui effectivement il ne devrait pas y avoir de i !
Merci beaucoup pour vos réponses je crois que j'ai finalement réussi à résoudre cet exercice :
si on prend le morphisme d'évaluation
on a bien P(-1) = Q(1), et il n'y a plus qu'à prouver que son noyau est
c'est bien ça ?
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Ben314
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par Ben314 » 14 Mai 2018, 21:18
Oui (et non...)
Il faut effectivement prouver que :
(i) Le noyau c'est l'idéal engendré par (X+1)(Y-1).
(ii) L'image est contenue dans l'ensemble des couples (P,Q) tels que P(-1)=Q(1)
Mais aussi que :
(iii) Tout les couples (P,Q) tels que P(-1)=Q(1) sont atteints par la fonction (pour avoir la surjectivité de la fonction qui est bien évidement nécessaire à la bijectivité).
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Axeldinh
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par Axeldinh » 15 Mai 2018, 14:17
Oui sinon pas de théorème d'isomorphisme encore merci !
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