Isomorphisme de groupe Z/pZ

[Lemniscate]

Bonsoir,

Une démonstration du théorème de Wilson sur wikipédia utilise (et présente comme évident) le fait que le groupe multiplicatif (ou p nombre premier) est isomorphe au groupe additif .

Pour le montrer j'aimerais montrer que est monogène (puisqu'il est de cardinal (p-1)).
J'ai essayé d'utilisé le fait que p est impair s'il est différent de 2 et de montrer que 2 est générateur du groupe mais je ne sais pas comment faire...

Si c'est censé être si évident, je pense qu'il y a quelque chose de simple qui m'échappe...

Merci d'avance pour vos réponses.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à Z/nZ non?

[Lemniscate]

Oui c'est pour ca que je cherche un générateur du group multiplicatif ...

[yos]

Les éléments de (Z/pZ)* sont d'ordre un diviseur de p-1. Le ppcm M de ces ordres ne saurait être strictement inférieur à p-1 sinon il y aurait le polynôme qui aurait trop de racines. Donc M=p-1. Ensuite on multiplie entre eux tous les éléments. Vue la commutativité, l'ordre du produit est M, donc p-1.

En fait ma preuve montre Wilson au passage. Ya peut-être plus simple.

[barbu23]

Bonsoir,

Une démonstration du théorème de Wilson sur wikipédia utilise (et présente comme évident) le fait que le groupe multiplicatif (ou p nombre premier) est isomorphe au groupe additif .

Pour le montrer j'aimerais montrer que est monogène (puisqu'il est de cardinal (p-1)).
J'ai essayé d'utilisé le fait que p est impair s'il est différent de 2 et de montrer que 2 est générateur du groupe mais je ne sais pas comment faire...

Si c'est censé être si évident, je pense qu'il y a quelque chose de simple qui m'échappe...

Merci d'avance pour vos réponses.

Salut :
Tes deux ensembles sont fini de même cardinal, donc, sont isomorphes ! ici pas besoin de parler de cyclicité ni de quoi que ce soit ! c'est évident je pense !
Cordialement !

[abcd22]

Bonjour,

Contrairement à ce qui est dit sur wikipedia, on n'a pas du tout besoin de savoir que (Z/pZ)* est cyclique pour montrer le théorème de Wilson, la seule chose qui sert c'est le fait que Z/pZ est un corps, ce qui garantit :
-- que tout les éléments 1,..., p - 1 sont inversibles dans Z/pZ;
-- que les seuls qui sont égaux à leur inverse sont 1 et -1 (l'équation x² = 1 ne peut pas avoir plus de 2 solutions dans un corps).

Edit : l'article en anglais sur le théorème de Wilson est beaucoup plus clair que le français.

[barbu23]

ou bien il faut chercher un morphisme de groupe bijective entre ces deux groupes ! :happy2:

[abcd22]

Tes deux ensembles sont fini de même cardinal, donc, sont isomorphes !

(Z/2Z)² et Z/4Z sont isomorphes ?

[SimonB]

(Z/2Z)² et Z/4Z sont isomorphes ?

Klein, quand tu nous tiens...

[barbu23]

(Z/2Z)² et Z/4Z sont isomorphes ?

oui, c'est vrai, j'ai fait une erreur ! désolé ! :happy2:

[Lemniscate]

Salut :
Tes deux ensembles sont fini de même cardinal, donc, sont isomorphes ! ici pas besoin de parler de cyclicité ni de quoi que ce soit ! c'est évident je pense !
Cordialement !

Ne confonds-tu pas avec un résultat sur les dimensions d'espaces vectoriels : "2 ev sont de même dimension ssi ils sont isomorphes" ?

Par exemple tu prends les groupes additifs (Z/2Z)x(Z/2Z) et Z/4Z, le premier est de cardinal 4 (2*2) comme le second. Le premier n'est pas cyclique, le second l'est. Ils ne sont pas isomorphes (car 1 groupe isomorphe à un groupe cyclique est lui-même cyclique) et ont le même cardinal !

Sinon yos j'aime bien ta démo,

Merci pour vos réponses !

[yos]

Sinon yos j'aime bien ta démo,

Merci.
Pour la fin, je rectifie un truc : on prend le produit des éléments de (Z/pZ)* dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux (et pas de tous les éléments de (Z/pZ)* ). Ensuite on utilise le fait que ord(xy)=ord(x)ord(y) lorsque ces ordres sont premiers entre eux.
A noter que cette preuve est valable pour tout corps fini : le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.

[leon1789]

Les éléments de (Z/pZ)* sont d'ordre un diviseur de p-1. Le ppcm M de ces ordres ne saurait être strictement inférieur à p-1 sinon il y aurait le polynôme qui aurait trop de racines. Donc M=p-1. Ensuite on multiplie entre eux tous les éléments. Vue la commutativité, l'ordre du produit est M, donc p-1.

En fait ma preuve montre Wilson au passage. Ya peut-être plus simple.

Tu veux multiplier quels éléments exactement ? car le produit des tous les éléments de Z/pZ\{0} vaut -1 (d'ordre 1 ou plus généralement 2)

[ThSQ]

Juste pour le plaisir d'en rajouter : tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.

[Lemniscate]

on prend le produit des éléments de (Z/pZ)* dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux (et pas de tous les éléments de (Z/pZ)* )

Effectivement le théorème de Wilson justement dit que (p-1)! congru à -1 mod p donc l'ordre du pdt de tous les éléments est 2 ! et non pas p.

ord(xy)=ord(x)ord(y) lorsque ces ordres sont premiers entre eux.

Ok ca j'arrive à le démontrer

on prend le produit des éléments de (Z/pZ)* dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux

à ce moment là on a pour les xi que tu as choisis :

o(x1*x2*...*xk)=o(x1)*o(x2)*...*o(xn)

Et tu me dis que o(x1*x2*...*xk)=(p-1) ?

C'est là que je vois pas en fait, même en sachant que ppcm{ordres des éléments du groupe}=(p-1) comme tu l'as démontré. On sait juste que ppcm{o(x1),o(x2),...,o(xn)}=o(x1)*o(x2)*...*o(xn)

Mais pourquoi ppcm{o(x1),o(x2),...,o(xn)}=ppcm{ordres de tous les éléments du groupe (même ceux qui ne sont pas 1ers entre eux)} ???

[yos]

Tu as raison, il y a une subtilité, et ma construction est bancale.

On a dans un groupe abélien fini G : sup{ord(x)}=PPCM(ord(x)).
Et dans notre contexte où G=(Z/pZ)*, cet entier M ne peut être que p-1 sinon le polynôme a trop de racines.

Reste à détailler l'égalité sup{ord(x)}=PPCM(ord(x)). J'essaie de l'écrire ce soir.

[yos]

G abélien fini.
On prend x dans G d'ordre maximal N.
Soit y dans G d'ordre n.
On veut montrer que n|N.
Si ce n'est pas le cas, il existe un nombre premier p tel que .
Je pose et .
Alors est d'ordre et est d'ordre .
Puisque et sont premiers entre eux, l'élément est d'ordre , lequel est >N, contradiction.

[sniperamine]

à titre d'information tout groupe cyclique infini est isomorphe à Z

[leon1789]

G abélien fini.
On prend x dans G d'ordre maximal N.
Soit y dans G d'ordre n.
On veut montrer que n|N.
Si ce n'est pas le cas, il existe un nombre premier p tel que .
Je pose et .
Alors est d'ordre et est d'ordre .
Puisque et sont premiers entre eux, l'élément est d'ordre , lequel est >N, contradiction.

Pourquoi ne pas donner une méthode pour calculer un élément d'ordre "ppcm" (au lieu de faire une preuve par l'absurde qui le cache :we: ) ?

Soit deux éléments x,y de G (abélien)
si n=ordre(x) < oo , m=ordre(y) < oo , d= pgcd(n,m),
alors ordre(x^d) = n/d , ordre(y^d) = m/d et 1=pgcd(n/d, m/d)
donc ordre(x^d y^d) = mn/d = ppcm(n,m)

[yos]

Pourquoi ne pas donner une méthode pour calculer un élément d'ordre "ppcm" (au lieu de faire une preuve par l'absurde qui le cache :we: ) ?

Soit deux éléments x,y de G (abélien)
si n=ordre(x) < oo , m=ordre(y) < oo , d= pgcd(n,m),
alors ordre(x^d) = n/d , ordre(y^d) = m/d et 1=pgcd(n/d, m/d)
donc ordre(x^d y^d) = mn/d = ppcm(n,m)

Peut-être que ma preuve cache des choses mais elle est juste.
(n/d)(m/d) ça fait mn/d², donc... j'attends !