Isomorphisme de groupe Z/pZ

[leon1789]

Peut-être que ma preuve cache des choses mais elle est juste.
(n/d)(m/d) ça fait mn/d², donc... j'attends !

et oui tu as été trop rapide

En fait, il faut "séparer" correctement les ordres, non pas à coup de pgcd comme tu vois, mais au niveau des facteurs premiers... j'y travaille :id:

[yos]

J'ai bien fait de copier : tu as déjà effacé les traces du méfait. de quoi j'aurais l'air?

Mais sérieusement, quand on réfléchis au truc, on passe par des << et si ça marchait pas, qu'en serait-il? >>. Alors pourquoi cacher ça au lecteur qui va se dire << j'aurais pas trouvé tout seul >> au vu du produit fini que tu lui livres. Les preuves naturelles sont pas forcément celles qu'on croit.

[leon1789]

Peut-être que ma preuve cache des choses mais elle est juste.
(n/d)(m/d) ça fait mn/d², donc... j'attends !

Bon, je n'arrive pas à me passer de la factorisation primaire de n et m :triste:

Soit x,y dans G abélien
si n=ordre(x) < oo , m=ordre(y) < oo , d= pgcd(n,m),
on écrit et

On sépare les premiers de deux factorisations (je crois qu'on peut le faire à coupS de pgcd, mais je ne sais plus comment... j'ai des doutes en fait...)

et

ainsi st = pgcd(n,m) et pgcd(n/s, m/t)=1

d'où ordre(x^s y^t) = nm/st = ppcm(n,m)



Pour un groupe abélien fini, on fait mouliner ça sur tous les éléments et on obtient un élément d'ordre maximal (au sens de la divisibilité : ppcm de tous les ordres des éléments du groupes)

[leon1789]

J'ai bien fait de copier : tu as déjà effacé les traces du méfait. de quoi j'aurais l'air?

Oui, j'ai effacé pendant que tu répondais (tu as été trop rapide pour lire ma bêtise !)

Mais sérieusement, quand on réfléchis au truc, on passe par des >. Alors pourquoi cacher ça au lecteur qui va se dire > au vu du produit fini que tu lui livres. Les preuves naturelles sont pas forcément celles qu'on croit.

C'est vrai, je te l'accorde : le premier but est de pouvoir se débrouiller pour trouver une preuve, pour ça, on peut très bien faire une analyse du problème dans tous les sens. Moi-même je n'hésite pas à tripatouiller comme je peux, abusant de tout, et je ne m'y perds, etc. :id: Mais ensuite, quand on tient le fil, pourquoi ne pas essayer de simplifier l'exposé ?

Une fois, j'ai été hyper-surpris (et pas le seul !) de voir toute une suite de preuves n'utilisant jamais le mot "si" !!! Le tout arrivant à un théorème d'algèbre commutative pas totalement évident. Bien sûr que les preuves ne sont pas venues toutes seules (enfin, j'imagine...) mais le résultat est surprenant de limpidité dans les preuves.

De mémoire, je crois que le théorème est
>.

Ok, ce n'est un résultat pas nouveau, c'est vrai, mais il fallait voir la preuve ! (quelques pages en partant de rien, ça passait par les anneaux locaux, etc. ... et pas une seule fois le mot "si" !!... ) Franchement, des fois, quand on prend les bons objets par le bon bout, les maths c'est super beau :id:


Et puis, le naturel peut changer en fonction des preuves que l'on voit... :id:

[Lemniscate]

Soit x,y dans G abélien
si n=ordre(x) < oo , m=ordre(y) < oo , d= pgcd(n,m),
on écrit et

On sépare les premiers de deux factorisations (je crois qu'on peut le faire à coupS de pgcd, mais je ne sais plus comment... j'ai des doutes en fait...)

et

ainsi st = pgcd(n,m) et pgcd(n/s, m/t)=1

Juste une question leon, je suis pas sûr d'avoir bien suivi (en tout cas j'ai pas pigé toute la démo, je réessayerai plus tard), mais ,avec tes notations, n'a-t-on pas st=nm ? Peut-être ai-je du mal à comprendre les notations ?

EDIT : Ok c'est bon j'ai compris j'avais mal lu

[leon1789]

Les preuves naturelles sont pas forcément celles qu'on croit.

Mais le naturel change en fonction du temps : dans ta démo, les notions de groupes et d'ordre nous paraissent naturelle. Or, dans l'histoire, cela n'a pas toujours était le cas. C'est après de bcp de cogitation que sont apparues ces notions , qui se sont finalement révélées importantes et qu'on utilise de nos jours sans "broncher".

Oui, le naturel n'est pas défini de manière définitive : il change en fonction de ce que l'on constate, comprends, ré-utilise pour faire de nouvelles preuves. Bref, je pense que c'est notre pratique personnelle des maths qui nous rend naturelle telle méthode, telle notion (un peu comme une espèce de sélection naturelle qui s'opère à notre insu).

Non ?

[leon1789]

Décidément, une fois lancé, je ne peux plus m' arrêté... (je dois avoir un problème psycho)

En arithmétique, on connait tous des propositions du style "si pgcd(a,b)=1 alors on a truc"

Trop souvent à mon goût, les gens font un raisonnement par l'absurde pour démontrer ça en considérant des nombres premiers : << soit p un premier tel que non truc, alors ... alors p divise a et b ! >> Un problème récurrent, c'est qu'on oublie souvent les cas particuliers où a ou b sont nuls. Bien sûr, ce ne sont pas des cas qui demandent une grande attention, mais c'est dommage d'avoir un traitement de preuve qui "oublie" ces cas et qui demande à faire des cas particuliers : le traitement n'est pas "lisse"...

Personnellement, j'adore les relations de Bézout : 1=ua+vb. C'est beaucoup "lisse", résistant et universel.

Maintenant, est-ce qu'une relation de Bézout est naturelle quand on voit "pgcd =1" : pour moi, oui !

Exemple : dans une preuve de << si xy=yx et pgcd( ordre(x), ordre(y) )=1 alors ordre(xy) = ordre(x)ordre(y) >>, je vais commencer par écrire une relation de Bézout. Avec un peu de chance, cette preuve sera directe...
Et vous ?

[leon1789]

euh... encore moi...

Quand on regarde la preuve de yos
http://maths-forum.com/showpost.php?p=523929&postcount=16
et la preuve que je donne
http://maths-forum.com/showpost.php?p=523983&postcount=21
on se dit :
le leon, il pompe carrément sur yos en disant qu'il invite la poudre ! :hum:

Oui dans les arguments utilisés dans la preuve... et non dans l'esprit de la preuve.
On veut montrer qu'il existe un élément du groupe abélien fini dont l'ordre est multiple des ordres de tous les autres éléments du groupe.

Méthode 1 : "Et si c'était pas vrai ?"
--> On suppose que ce n'est pas vrai, on en déduit une absurdité.
Cette méthode peut vous paraître naturelle, mais en tout état de cause, en gardant cette manière de présenter, on n'obtient rien d'autre que la confirmation (c'est déjà pas mal, ok) qu'il existe un tel élément...

Méthode 2 : "Comment construire une tel élément ?"
--> On fait...
Avec cette preuve, non seulement on sait qu'un élément existe, mais on a aussi le moyen d'expérimenter de manière concrète.
(Et le concret manque énormément à nos enseignements...)

Bon...vais-je m'arrêté là ?...

[yos]

Personnellement, j'adore les relations de Bézout : 1=ua+vb. C'est beaucoup "lisse", résistant et universel.

Etonnant pour un ring-artiste comme toi : ces dernières exigent la principalité alors que les décomposition en facteurs premiers se contentent de factorialité. C'est Pierre Samuel, je crois, qui critiquait (un peu) la preuve de Gauss-Euclide utilisant Bezout pour la raison que je donne.

Méthode 2 : "Comment construire une tel élément ?"
--> On fait...
Avec cette preuve, non seulement on sait qu'un élément existe, mais on a aussi le moyen d'expérimenter de manière concrète.
(Et le concret manque énormément à nos enseignements...)

Si on enlève "ordre maximum" pour x, ma preuve fournit un élément d'ordre strictement plus grand que les ordres de x et de y sous l'hypothèse que
ord(y) et ord(x) ne se divisent pas l'un-l'autre.

[ThSQ]

On veut montrer qu'il existe un élément du groupe abélien fini dont l'ordre est multiple des ordres de tous les autres éléments du groupe.

Mq qu'il existe un élément dont l'ordre est (exactement) le ppcm des éléments du groupe (= exposant du groupe). ( par l'absurde de préférence )

[yos]

C'est ce qu'on a fait Leon et moi non?

[ThSQ]

Surement (j'ai pas tout lu :marteau: ). Juste que c'est un peu plus fort que ce que Léon a écrit plus haut.

[leon1789]

Pour un groupe abélien fini, on fait mouliner ça sur tous les éléments et on obtient un élément d'ordre maximal (au sens de la divisibilité : ppcm de tous les ordres des éléments du groupes)

Mq qu'il existe un élément dont l'ordre est (exactement) le ppcm des éléments du groupe (= exposant du groupe). ( par l'absurde de préférence )

Surement (j'ai pas tout lu :marteau: ). Juste que c'est un peu plus fort que ce que Léon a écrit plus haut.

:marteau: :marteau: :marteau:

Je comprends, moi non plus, je ne lis pas toujours.

[leon1789]

Si on enlève "ordre maximum" pour x, ma preuve fournit un élément d'ordre strictement plus grand que les ordres de x et de y sous l'hypothèse que
ord(y) et ord(x) ne se divisent pas l'un-l'autre.

oui (il faut alors enlever le > et >) , je suis tout à fait d'accord !

[leon1789]

Etonnant pour un ring-artiste comme toi : ces dernières exigent la principalité alors que les décomposition en facteurs premiers se contentent de factorialité. C'est Pierre Samuel, je crois, qui critiquait (un peu) la preuve de Gauss-Euclide utilisant Bezout pour la raison que je donne.

Bon, là, il y a un problème de communication : j'ai été trop "approximatif" dans mon paragraphe.

D'abord, je vais dire un truc d'une évidence confuse (qui va, je l'espère, s'expliquer après).


Soit x un élément d'un anneau commutatif A.
Il y a une différence entre vouloir les propriétés suivantes :
(1) "tout élément non nul de A se factorisent en un produit unique d'irréductibles"
et
(2) "l'élément x se factorise en un produit unique d'irréductibles"

La première propriété (1) est celle d'un anneau A factoriel, ok. (pas oublier A intègre)

La seconde (2) est "ponctuelle en x" et je crois (à ma connaissance, qui est évidemment limitée) qu'on ne rencontre pas fréquemment des anneaux non factoriels dans lesquels un certain élément intéressant x se factorise de manière unique en irréductibles.

Noter que dans un anneau noethérien intègre, tout élément non nul se factorise en irréductibles, mais pas de manière unique en général.


Revenons maintenant sur Bézout.

Une relation de Bézout 1 = ax+by entre deux éléments x et y d'un anneau A , peut s'écrire avec des idéaux : A = Ax + Ay.


Soit v,w deux éléments d'un anneau commutatif A.
Il y a une différence entre vouloir les propriétés suivantes :
(1) "pour tout (x,y) de A², si A est le seul idéal monogène contenant x et y alors A = xA + yA "
et
(2) "on a A = Av + Aw"


La première propriété (1) est impliquée (mais pas équivalente) par la principalité (condition plus forte que la factorialité, ok)

La seconde propriété (2) est "ponctuelle en v,w". Mais !!
Je pense (je l'ai constaté) qu'il existe bcp de situations où les hypothèses impliquent l'égalité A = Av + Aw pour un certain couple (v,w) d'un certain anneau A.
Cela signifie quoi ? Cela signifie, à mes yeux, que la "notion" de relation de Bézout est assez essentielle.


Conclusion

Ainsi, face au nombre de fois où j'ai pu considérer une relation de Bézout (que les hypothèses me donnaient) dans un anneau commutatif, et le (faible) nombre de fois que j'ai pu considérer une factorisation unique en éléments irréductibles, je crois que la notion de relation de Bézout est bien plus "universelle" que la factorisation unique en irréductibles.

Par ailleurs, les anneaux factoriels sont rares, c'est bien pourquoi les anneaux de Dedekind ont été inventés (plus nombreux que les anneaux factoriels), mais là, ce ne sont des éléments irréductibles dont ils s'agit, mais des idéaux premiers... encore une autre notion bcp plus utilisée (je crois) que celle d'éléments irréductibles.

Je poste ce message, et après je prépare un exemple de théorème d'algèbre commutative où les hypothèses provoquent une identité de Bézout. :id:




PS
(je vais paraître prétentieux, mais tant pis, je dis ce que je pense... vous me direz si c'est exagéré)
Pierre Samuel (dont je n'arrive pas à la cheville !) est capable d'écrire des raisonnements par l'absurde de plusieurs dizaines de lignes, cachant par la même occasion quelques petits lemmes classiques que l'on retrouve dans d'autres livres. Il a visiblement d'autres sensibilités que les miennes :id: Si besoin, je peux expliciter concrètement via des références...

[leon1789]

Premier exemple --> Traduire par "relation de Bézout" qu'un anneau commutatif A est de dimension de Krull nulle (ie. tout idéal premier de l'anneau est maximal) :

Pour , on définit les idéaux

(union croissante d'idéaux)

Alors A est de dimension de Krull nulle si et seulement si
pour tout , on a

[leon1789]

Autre exemple : soit a,b deux éléments d'un anneau commutatif A.

On dit qu'un idéal est localement monogène lorsque, pour tout idéal premier p de A, l'idéal de l'anneau local est monogène.

On définit l'idéal

L'idéal est localement monogène si et seulement s'il existe et tels que

(remarque : les idéaux d'un anneau de Dedekind sont engendrés par deux éléments et sont localement monogènes)




Je cherche des exemples plus parlant...

[leon1789]

Théorème : soit x un élément d'un anneau commutatif A. Si x est nul dans tout anneau localisé où p est un idéal premier de A, alors x est nul.

La preuve que je connais est simple (4 ou 5 lignes) et passe par une relation de Bézout entre plusieurs éléments de A.

[leon1789]

Autre exemple en géométrie algébrique :

Soit f un polynôme de C[X,Y].
On considère la courbe algébrique

On dit qu'un point (a,b) est lisse sur la courbe lorsque

En fait, on peut généraliser la notion de point lisse sur un anneau commutatif A par

[yos]

Je cherche des exemples plus parlant...

Et? Ca vient pas?

Sans rire, j'aime bien l'exemple des idéaux localement monogènes. Ca me rappelle les questions de capitulation qui ont décoré ma thèse (j'ai oublié l'essentiel). Je vais y songer en me couchant.