Un équilibre.

[Lionel144]

Etant donné un point P à l'intérieur du polygone, et A étant le sommet déjà chargé, on choisit deux autres sommets B et C tels que P soit à l'intérieur du triangle ABC. On calcule alors les coordonnées barycentrique de P relativement à ABC : trois équations à trois inconnues, et on a tout ce qu'il faut.

Merci Robot, j'ai bien compris qu'il n'existe pas de solution unique pour les coefficients barycentriques d'un polygone possédant plus de trois sommets.

Donc, si il a six sommets, je vais en choisir trois.



Ici je vais choisir les points A, B, F, je vais trouver les coefficients a, b, f.

Mais moi je voulais les coefficients a, b, c, d, e, f par rapport à ce point P du polygone N°1, pour les reporter dans le polygone N°2 et ainsi trouver P' avec

P'(x) = a*A'(x) + b*B'(x) + c*C'(x) + d*D'(x) + e*E'(x) + f*F'(x)
P'(y) = a*A'(y) + b*B'(y) + c*C'(y) + d*D'(y) + e*E'(y) + f*F'(y)

Si je ne choisis que les trois points A, B, F, l'incidence de la position de D ne sera pas perçue.

J'ai besoin d'une seule combinaison (a, b, c, d, e, f) même si elle n'est pas unique.

[Robot]

Si je ne choisis que les trois points A, B, F, l'incidence de la position de D ne sera pas perçue.

Non, l'influence de D ne sera pas perçue. Et alors ?

J'ai besoin d'une seule combinaison (a, b, c, d, e, f) même si elle n'est pas unique.

Ca peut se faire si on subdivise l'hexagone en triangles ABC, ACD, ADE, AEF. On associera alors à chaque point de l'hexagone une combinaison bien définie de coefficients positifs ou nuls, de somme égale à 1 (ayant au plus trois coefficients non nuls), et ceci de manière continue.
On peut faire jouer le rôle du sommet A dans cette subdivision à n'importe quel autre sommet de l'hexagone. On aura alors une autre façon continue d'associer une combinaison de coefficients positifs ou nuls de somme égale à 1 à chaque point de l'hexagone.
Et si on a comme ça plusieurs façons d'associer continûment une combinaison de coefficients positifs ou nuls de somme égale à 1 à chaque point de l'hexagone, on peut en faire la moyenne : ça fait une nouvelle façon.

C'est une manière de procéder, on peut en imaginer d'autres. Par ailleurs travailler avec des barycentres n'est pas forcément une bonne idée. Par exemple pour transformer un quadrilatère convexe en un autre quadrilatère convexe, on peut utiliser une homographie du plan réel. On aura alors la propriété de transformer point alignés dans le premier quadrilatère en points alignés dans le deuxième quadrilatère, ce qui n'est pas le cas avec la transformation que tu avais décrite.

Ou encore, pour des polygones quelconques, on peut utiliser des transformations de Schwarz-Christoffel (qui permettent de ramener les deux polygones au disque unité). On obtient alors des transformation conformes (préservant les angles). Mais ça devient nettement plus complexe, c'est le moment de le dire!

[Lionel144]

C'est une manière de procéder, on peut en imaginer d'autres.

Oui c'est mon problème, j'ai une imagination débordante qui n'est pas à la mesure de mes compétences en mathématiques. Il doit toujours y avoir des réalités fondamentales pour soutenir des projets et souvent je ne prends pas les bonnes. Par exemple subdiviser en triangles puis associer ne m'a jamais donné de bons résultats.

j'ai imaginé de commencer par le segment [A, B], de déterminer le point I, intersection de la projection perpandiculaire de P sur (A, B), de calculer les coefficients avec I = bar((A, k), (B, 1-k)), puis de remplacer le segment [A, B] par le point I, puis de recommencer avec le segment [I, C], ainsi jusqu'à la fin. Je pondère les coefficients ainsi regroupés, par chaque nouveau k.

Mais à chaque fois que je trouve une méthode, j'obtiens des résultats différents des autres méthodes. Je pensais qu'il y en aurait une académique.

Enfin un grand merci, je ne connaissais pas Schwarz-Christoffel, je vais essayer de faire des efforts dans ce sens. Si je trouvais un algorithme en guise de pierre de rosette, je pense que cela me faciliterait la tâche.

Merci. Lionel

[Robot]

Par exemple subdiviser en triangles puis associer ne m'a jamais donné de bons résultats.

Bons de quel point de vue ?
Quand on subdivise en triangles, on a une transformation affine sur chacun des triangles de la subdivision (linéaire par morceaux, selon la terminologie habituelle).

[Lionel144]

Bons de quel point de vue ?
Quand on subdivise en triangles, on a une transformation affine sur chacun des triangles de la subdivision (linéaire par morceaux, selon la terminologie habituelle).

Pour moi quand c'est bon, c'est quand j'ai réussis à produire un bout de code clos, bien ficellé, logé dans les librairies de mon programme de génération d'images, et que je sais y accéder proprement et que cela me donne des résultats agréables à regarder.

Les polygones que j'ai découpés en triangles m'ont toujours apporté visuellement un effet de facettes très facilement reconnaissables dès lors que je les mappe. Avec les quadrilatères, comme je les traite soit les effets de parallèlisme soit les variations progressives des angles suffisent à amoidrir les difficultés. Je n'utilise pas de filtres (hanning, bessel, Catrom ...) quand je mappe car j'utilise la géométrie jusqu'au bout, enfin, je fais ce que je peux.

Maintenant si j'associe plusieurs coefficients du même sommets, vous dites la moyenne, mais laquelle?
La moyenne arithmétique? et si j'ai huit coefficients pour un point et que deux pour celui d'à côté, moi ça me fait peur. J'ai eu tellement des combinaisons de je pensais canoniques et qui m'ont apporté des effets de loupe ou franchement des déports, des distorsions, que j'hésite beaucoup.

Cela fait plus de 5 ans que je cherche à mapper un polygone à plus de quatre sommets. Avant cela, c'est un prof de math qui au départ m'avait dit que je pourrais m'en sortir avec les barycentres, justement parce que M = bar ((A, k), (B, 1-k)) c'était dans l'espace affine. Et je suis resté collé à cela. Même quand je fais des similitudes, je ne vais pas dans le plan complexe. Il va peut-être falloir que je change.

J'ai trouvé un code en python des transformations de schwarz - christophel sur le site PlanetMath. Je vais le traduire en C et je verrai si je parviens à le "driver".

Justement aussi en regardant les figures correspondant à schwarz - christophel, plusieurs splines ou Bézier qui serpentent comme les isovaleurs sur une carte, mon gestionnaire de polygones est assez trappus pour obtenir des choses équivalentes et ainsi je pourrais parcourir ces couloirs et les combler sans trop de soucis. Je n'y avais jamais pensé.

Je rêve de pouvoir mapper d'une seule traite un polygone comme un labyrinthe de Hilbet, en fait deux polygones imbriqués, et là j'ai bien avancé, je crois que j'ai assez de billes pour y parvenir.

[Robot]

Maintenant si j'associe plusieurs coefficients du même sommets, vous dites la moyenne, mais laquelle?
La moyenne arithmétique? et si j'ai huit coefficients pour un point et que deux pour celui d'à côté, moi ça me fait peur.

Si on a un premier procédé qui à tout point P dans le polygone convexe associe de façon continue tous positifs ou nuls, de somme 1 et tels que , et un deuxième procédé qui donne avec les mêmes propriétés, alors les moyennes auront toujours les mêmes propriétés. (On peut faire bien sûr la moyenne de plus de deux).

Maintenant, si on a un autre polygone convexe , l'application sera une application continue surjective de sur , envoyant bord sur bord de manière bijective, mais rien ne garantit que cette application sera injective à l'intérieur du polygone.

Je ne comprends pas trop les dernières lignes de ton message, mais ce n'est pas grave.