Point d'équilibre d'une équation différentielle

[ArtyB]

Bonsoir,

Je viens d'apprendre la notion de point d'équilibre d'une équation différentielle, un point v est un point d'équilibre si f(v)=0 (je trouve ça fou de ne pas en avoir entendu avant...).

En revanche ce que je ne comprends pas c'est l'intitulé de l'exercice suivant:
Quels sont les points d'equilibre de l'EDO u'= f(u) avec


Je ne comprends pas ce que l'on me demande, je peux trouver des points d'équilibre v tels que f(v)=0 mais je ne vois pas le rapport avec l'équation différentielle u'=f(u).
J'ai cherché des exemples sur internet mais il n'y a que des équations compliquées avec plein de notions dont je n'ai jamais entendu parler et qui ne devraient pas être nécessaires à la résolution de cet exercice.

Si quelqu'un pouvait m'éclairer ça serait génial !

[L.A.]

Bonsoir,

si f(u_0) = 0 alors la fonction constante u(t) = u_0 est solution de l'équation différentielle

u'(t) = f(u(t))

(les deux côtés sont identiquement égaux à 0), d'où le fait que u_0 est un point d'équilibre.

[ArtyB]

Bonsoir,
Merci de ta réponse !
Mais ici u est un point n'est-ce pas ?
On a u=(u_1,u_2)
donc comment peut on avoir u' = f(u(t)) ?
Je ne comprends pas comment appliquer cela dans le cadre de l'exercice et de la fonction f que l'on donne

[L.A.]

f est une fonction de R^2 dans R^2 et la solution u(t) est un vecteur à deux composantes (ou un point d'un plan) qui varie au cours du temps, autrement dit une fonction de R dans R^2. Les points d'équilibre sont les points u = (u_1,u_2) tels que f(u) = f(u_1,u_2) = 0.

[ArtyB]

D'accord, merci !
Donc si je comprends bien, ici ça nous donne ça:



On cherche u tel que u'=f(u)=0
soit



Soit le système:




qui nous donne
et
On a alors bien u'=0 et f(u)=0

C'est bien ça ?

[L.A.]

C'est tout à fait ça :zen:

[ArtyB]

Merci beaucoup !

Et donc si j'ai bien compris, pour

Ce sont les points:
(0,0)
(pi,0)

C'est ça ?