Un équilibre.

[Lionel144]

A partir de quatre points dans le plan, il n'y a plus unicité des coefficients.

Dans quel ouvrage de mathématiques trouve-t-on décrite et démontrée une réalité pareille? Vraiment?

[Lionel144]

Ton calcul te donne un jeu de coefficients qui marchent, mais il y a une infinité d'autres jeux, même si on force la somme des coefficients à être égale à 1, ou même si l'on impose que l'un d'entre eux soit égal à 1.

Je peux démontrer que pour n'importe quel polygone, si le point P est confondu avec un des sommets, alors le coefficient de ce sommet aura pour valeur 1, et tous les autres coefficients auront pour valeur zéro.

Dans ce cas où est cachée l'infinité d'autres jeux?

[Lionel144]

Peut-être faudrait-il prendre ta question par un autre bout : pourquoi veut tu exprimer un point du polygone comme barycentre des sommets ? Serait-ce par exemple pour calculer l'image de ce point dans une transformation du polygone (ombre, vue en perspective ... ) ?

C'est exactement cela qui se passe. j'ai développé un générateur d'images dont l'un des moteurs utilise les coordonnées barycentriques de quadrilatères. Pour voir les résultats, c'est ICI

Alors bien sûr, j'ai étendu l'idée de "les aires du triangle" à n sommêts, mais cela entraîne des problèmes sournois que je ne sais pas maîtriser. Je voulais simplement savoir ce que les vrais mathématiciens ont réussis à trouver sur ce sujet. Simplement.

[Ben314]

Dans quel ouvrage de mathématiques trouve-t-on décrite et démontrée une réalité pareille? Vraiment?

C'est un ouvrage long, compliqué et trés technique, mais je te propose par exemple de lire le post de Jeudi 13 aout à 11h26 montrant que ton problème se ramène à DEUX équations linéaires homogènes en les coeff. , puis à la page 1 (ou presque) de n'importe quel bouquin sur les systèmes linéaires qui explique que si on veut avoir une unique solution a un système, il faut autant d'équation que d'inconnues.
Et je pense pas que tu trouve où que ce soit une quelconque référence pour une telle banalité (désolé si ça te chagrine, mais c'est effectivement un problème trivial)

[Robot]

Je peux démontrer que pour n'importe quel polygone, si le point P est confondu avec un des sommets, alors le coefficient de ce sommet aura pour valeur 1, et tous les autres coefficients auront pour valeur zéro.
Dans ce cas où est cachée l'infinité d'autres jeux?

L'unicité ne vient dans ce cas là que du fait que tu imposes aux coefficients d'être positifs ou nuls. Si l'on retire cette restriction (en imposant toujours à la somme des coefficients d'être égale à 1), il y a bien une infinité de solutions dès que le nombre de sommets n est supérieur ou égal à 4, puisqu'on a un système de TROIS équations linéaires en n variables.

[Lionel144]

puisqu'on a un système de TROIS équations linéaires en n variables.

Cela, c'est vrai quand on est placés dans la situation ou les coefficients sont connus, je veux dire que c'est la connaissance pragmatique idoine, efficiente, ciblée.

Il n'en reste pas moins qu'au sein d'un polygone, il existe un lien étroit, privilégié, qui pourrait correspondre à une fonction, entre un point P quelconque et chacun des sommets du polygone, et surtout avec chacun des sommets par rapport à tous les autres. Pour n sommets ainsi, il exite n relations. Elle existent bien dans le triangle avec le calcul des surfaces. Qui pourrait affirmer le contraire?

[Robot]

Euh, tu peux décoder ?
Là, c'est très fumeux et ça ne veut pas dire grand chose. Donc c'est sûr qu'affirmer le contraire n'aurait pas plus de sens.

[Lionel144]

ton problème se ramène à DEUX équations linéaires homogènes en les coeff. ,

Je suis désolé, Pour la détermination des coefficients, ce système de deux équations de Leibniz ne sert à rien. Seulement deux équations pour n inconnues, c'est évident.

En revanche, il est indispensable à la fin pour le calcul de P.

Par contre j'ai n sommets correspondants à n point connus qui sont tous reliés à un point P connu. Je ne vois pas où réside la difficulté. Je vais chercher.

[Lionel144]

Euh, tu peux décoder ?
Là, c'est très fumeux et ça ne veut pas dire grand chose. Donc c'est sûr qu'affirmer le contraire n'aurait pas plus de sens.

Pour un polygone à n sommets, il existe n relations avec un point P.

Il suffit juste à trouver les n équations correpondant à ces n relations.

Où est-ce que je me trompe?

[Lionel144]

Pour un polygone à n sommets, il existe n relations avec un point P.

Il suffit juste à trouver les n équations correpondant à ces n relations.

Où est-ce que je me trompe?

Je l'ai fait avec 3 et 4 points.

Avec 5 points et plus, j'obtiens des disparités selon les méthodes. Donc je pose cette question: Quelle est la bonne méthode?

[bolza]

Bonjour,

je ne suis pas sûr d'avoir bien compris le problème, mais prenons simplement le cas du carrée.
Soit donc ABCD un carrée. Supposons que notre point P soit le centre du carrée.

On fixe des poids de 1k en A et C.

Alors en B et D on peut fixer n'importe quel poids (du moment qu'il sont égaux)
pour que P soit le barycentre de A,B,C et D.

Par exemple, si je note (X,p) pour dire que le sommet X a un poids p,
alors dans notre cas (A,1) (B,k) (C,1) (D,k) est une solution pour tout k.
après si on impose que la somme des coefficient soit égal à une constante c alors on a une solution unique.

Prenons maintenant le cas de l'hexagone régulier.
Soit ABCDEF un hexaone régulier, P est le centre de l'hexagone.
On fixe 1k en A et D.
Alors (A,1) (B,j) (C,k) (D,1) (E,j) (F,k) est une solution pour tout j,k.
Mais là imposer que la somme des coefficients soit égal à une constante c ne suffit pas à
déterminer une solution unique.
Sauf si on se restreint à ce que les coefficient soient positifs ou nul et si on prend c = 2.
Mais là c'est parce que on est dans un cas particulier où les poids fixés en A et D forment déjà un équilibre.
On voit bien que dans un cadre plus général, même en fixant 2 poids, on aura pas de solution unique.

Mais revenons sur ce point :

Sauf si on se restreint à ce que les coefficients soient positifs ou nul et si on prend c = 2.
Mais là c'est parce que on est dans un cas particulier où les poids fixés en A et D forment déjà un équilibre.

Cela signifie que si on a trouvé un équilibre en fixant certains poids sur certains sommets, alors
on peut mettre un poids nul à tous les autres sommets.

Donc si j'ai bien compris, ce que proposait Robot :
dans le cas du triangle, on a une solution unique, donc il suffit de prendre trois sommets,
trouver la solution unique pour ces trois sommets.
Les poids ainsi trouvés sur ces trois sommets formant déjà un équilibre, on peut mettre tous les autres à 0.

Si j'ai bien compris, moi ça me parait une bonne méthode

[Lionel144]

Merci Bolza

Le problème de cette discussion se pose autrement.

Exemple: Il y a un hexagone et un point P dans cet hexagone. Mais P n'est pas au centre de cet hexagone, c'est un point quelconque.

Le but de l'exercice est de trouver les poids qu'il faut mettre sur chaque point de l'hexagone pour que l'équilibre soit atteint à ce point P connu, mais quelconque.

On peut donc charger un premier sommet quelconque, par un poids quelconque, afin de limiter à une solution unique dans l'infinité des multiples possibles.

Voyez-vous?

Après, dans tous les cas, je ramène tous les poids à une valeur telle que leur somme sera égale à 1, pour utiliser la fonction vectorielle de Leibniz.

[bolza]

Merci Bolza

Le problème de cette discussion se pose autrement.

Exemple: Il y a un hexagone et un point P dans cet hexagone. Mais P n'est pas au centre de cet hexagone, c'est un point quelconque.

Le but de l'exercice est de trouver les poids qu'il faut mettre sur chaque point de l'hexagone pour que l'équilibre soit atteint à ce point P connu, mais quelconque.

On peut donc charger un premier sommet quelconque, par un poids quelconque, afin de limiter à une solution unique dans l'infinité des multiples possibles.

Voyez-vous?

Vous pensez sérieusement que si le point P n'est pas au centre,
vous aller passer d'une infinité de solution à une solution unique ???? O_o

La situation où P est sur un sommet, est une situation dégénéré. Pourquoi ?
parce que si on appelle A ce sommet, le vecteur PA est un vecteur nul,
donc vous pouvez mettre n'importe quel poids en A et tous les autres à 0.

Si j'ai mis le points P au centre dans mes exemples, c'est uniquement pour simplifier les calculs,
mais si vous déplacez le points P, cela ne change en rien votre problème.

[Lionel144]

La situation où P est sur un sommet, est une situation dégénéré. Pourquoi ?
parce que si on appelle A ce sommet, le vecteur PA est un vecteur nul,
donc vous pouvez mettre n'importe quel poids en A et tous les autres à 0.

La situation où P est sur un sommet correspond à avoir 1 pour coefficient à ce sommet et le coefficient égal à zéro sur tous les autres sommets. Elle correspond à trouver ce sommet comme centre de gravité suivant à l'utilisation de la fonction vectorielle de Leibniz. Je vois pas de dégénéré là-dedans.

[Lionel144]

Vous pensez sérieusement que si le point P n'est pas au centre,
vous aller passer d'une infinité de solution à une solution unique ???? O_o

L'infinité de solutions pour un point P donné, passe à une solution dès lors que la somme des coefficients est fixée à une valeur constante. Car l'infinité provient de la multiplication de tous les coefficients par une même valeur (qui elle, change cette somme sans changer les rapports sur le système barycentrique).

[Lionel144]

Si j'ai mis le points P au centre dans mes exemples, c'est uniquement pour simplifier les calculs,
mais si vous déplacez le points P, cela ne change en rien votre problème.

En effet, je reste à la recherche de la méthode qui me permettra de trouver:

- Les n coefficients de mes n sommets!
- Ou des n poids qui permettront à la plaque de rester en équilibre sur un point P.
- Ou des n-1 poids si je décide d'en fixer un pour avoir une solution unique.

En fait cela fonctionne comme une balance. Il y a une infinité de solutions pour trouver l'équilibre. 2 fois 10Kg, 2 fois 100 Kg, 2 fois 1000Kg ...
Mais si un des côté de la balance est fixé, il ne reste plus qu'une seule solution pour l'autre côté.

[Robot]

L'infinité de solutions pour un point P donné, passe à une solution dès lors que la somme des coefficients est fixée à une valeur constante. Car l'infinité provient de la multiplication de tous les coefficients par une même valeur (qui elle, change cette somme sans changer les rapports sur le système barycentrique).

Tu te prétends à l'écoute, mais tu es d'une surdité époustouflante à tout ce qu'on peut te dire !

Prenons le carré A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)
Considérons le point P(1/4,1/2).
Il est barycentre des points A,B,C,D avec les coefficients (u/4, 3/4 - u/2, u/4 - 1/4, 1/2) (la somme des coefficients fait toujours 1), et ceci quel que soit u compris entre 1 et 3/2 (de façon à avoir des coefficients tous positifs). Oh la belle unicité !

Une discussion sérieuse demanderait que tu acceptes de prendre en compte ce qu'on t'écrit. Ce n'est pas le cas. Continue sur tes certitudes, je sors. Je reviendrai peut-être si tu te mets à être un peu sérieux, enfin.

[bolza]

La situation où P est sur un sommet correspond à avoir 1 pour coefficient à ce sommet et le coefficient égal à zéro sur tous les autres sommets. Elle correspond à trouver ce sommet comme centre de gravité suivant à l'utilisation de la fonction vectorielle de Leibniz. Je vois pas de dégénéré là-dedans.

Alors Prenons juste l'exemple avec deux points A et B.

G est le centre de gravité de A et de B pondéré respectivement des poids a et b ssi

a*GA + b * GB = 0 (GA et GB sont des vecteurs, je ne mets pas les flèches au dessus.

Si j'ai bien compris votre problème, si on le résume à l'exemple avec 2 points :

cela donne vous avez un points P sur la droite (AB) et vous voulez cherché a et b tel que
a * PA + b * PB = 0

Maintenant si le point P est en A, alors PA = AA = 0v (0v représente le vecteur nul).

Donc si vous prenez b = 0, vous pouvez choisir n'importe quel valeur pour a.
Donc bien sur si vous imposer que la somme des coefficients soient égal à 1,
alors sous cette hypothèse seulement, vous avez a = 1.

Ici le terme "dégénéré" est utiliser dans son sens mathématiques, pour dire que c'est un cas à part
qui se distingue du cas générale à cause d'une singularité qui ici est le faite que le vecteur PA est nul.
Et comme PA est nul, vous n'avez pas le choix, comme PB est non nul vous avez forcément b = 0.

Ce qui implique si P est un sommet de votre polygone, alors forcément le poids de tout les autres sommet sont nul,
c'est pour cette raison seulement que vous avez une "unicité" (modulo normalisation)

unicité qui n'existe pas dans le cas général.

[Lionel144]

Tu te prétends à l'écoute, mais tu es d'une surdité époustouflante à tout ce qu'on peut te dire !

Prenons le carré A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)
Considérons le point P(1/4,1/2).
Il est barycentre des points A,B,C,D avec les coefficients (u/4, 3/4 - u/2, u/4 - 1/4, 1/2) (la somme des coefficients fait toujours 1), et ceci quel que soit u compris entre 1 et 3/2 (de façon à avoir des coefficients tous positifs). Oh la belle unicité !

Une discussion sérieuse demanderait que tu acceptes de prendre en compte ce qu'on t'écrit. Ce n'est pas le cas. Continue sur tes certitudes, je sors. Je reviendrai peut-être si tu te mets à être un peu sérieux, enfin.

Oui, c'est confondant.
J'ai fait beaucoup d'efforts pour être à l'écoute.
Mais en tant qu'être humain, je ne peux pas ignorer mes convictions, sinon je ne suis plus rien.
Alors avec cet exemple j'ai été choqué, j'ai failli admettre que je me sentais stupide.
Attention, je le suis peut-être. Si je savais suffisamment, je ne serais pas sur ce site à chercher mes réponses.
En tout état de cause, j'ai fait les calculs de cet exemple.

Pour U = 1 j'ai trouvé les coefficients a, b, c, d des points A, B, C, D.
a = 1/4, b = 1/4, c = 0, d = 1/2

Pour U = 3/2 j'ai trouvé les coefficients a, b, c, d des points A, B, C, D.
a = 3/8, b = 0, c = 1/8, d = 1/2

Puis j'ai calculé les abscisses de P.

P(x) = a*A(x) + b*B(x) + c*C(x) + d*D(x)

ce qui donne pour U=1:
P(x) = 1/4*0 + 1/4*1 + 0*1 + 1/2*0
P(x) = 1/4 et a+b+c+d = 1 tout va bien.

ce qui donne pour U=3/2:
P(x) = 3/8*0 + 0*1 + 1/8*1 + 1/2*0

a+b+c+d = 1
mais là je trouve P(x) = 1/8 au lieu de 1/4

Je me trompe peut-être, je n'arrive pas à savoir où.

Pour le coefficient c avec u = 3/2
c = (3/2)/4 - 1/4 = 3/8 - 1/4 = 3/8 - 2/8 = 1/8

Je vois une erreur qui pourrait se produire qu'à cet endroit là.

si je ne me trompe pas le point P bouge ente u=1 et u=3/2.

Là, je doute de tout.

[Robot]

Excuses, un bug de calcul : remplacer par
(u/4, 1/2 - u/4, u/4 - 1/4, 3/4 - u/4) avec u compris entre 1 et 2. La somme fait bien 1 et

(0, 0) + (1/2 - u/4, 0) + (u/4 - 1/4, u/4 - 1/4) + (0, 3/4 - u/4) = (1/4, 1/2)