Equation de droite et aire minimale

[karine78]

Bonjour ! J'ai un exercice de maths à faire, mais je bloque et je ne sais pas quoi faire... pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

En vous remerciant d'avance,

Voici l'énoncé:

Dans un repère orthonormé, on considère une famille de droites de pente négative passant par le point A de coordonnées (4 ; 2). A chacune des droites de la famille, on associe le triangle délimité par la droite et les deux axes de coordonnées. Déterminer l’équation réduite de la droite passant par A, de coefficient directeur strictement négatif qui donne le triangle ayant l’air minimale.
Indication : choisir la bonne inconnue, exprimer toutes les grandeurs utiles au moyen de celle-ci (coordonnées de points, longueurs) de manière à pouvoir exprime l’aire du triangle en fonction de l’inconnu choisie puis étudier cette fonction.

Bonne journée !

[zygomatique]

salut

soit d < 0 le coefficient directeur de la droite passant par A(4, 2)

quelle est son équation réduite ?

[karine78]

salut

soit d < 0 le coefficient directeur de la droite passant par A(4, 2)

quelle est son équation réduite ?

Justement, je n'y arrive pas

[zygomatique]

:cry:

y - 2 = d(x - 4)

...

[karine78]

:cry:

y - 2 = d(x - 4)

...

Mais à quoi cela mène -t-il ?

[karine78]

Mais à quoi cela mène -t-il ?

Voilà ce que j'ai fait pour l'instant, est-ce correct ? La droite d coupe l'axe des abscisses en M et l'axe des ordonnées en N.
(d) :y = -mx+p et A ( 4;2) appartient à (d) donc 2=m+p et p=2-m donc (d):y=-mx+(2-m)

Ensuite, on doit chercher les coordonnées de M et N, mais je ne sais pas comment faire...

[zygomatique]

:cry:

y - 2 = d(x - 4)

intersection avec axe des ordonnées ==> x = 0 ==> y = .... ?

intersection avec axe des abscisses ==> y = 0 ==> x = ... ?

[zygomatique]

quelle est le coefficient directeur de la droite passant par le point A(4, 2) et le point M(x, y) ?

[karine78]

:cry:

y - 2 = d(x - 4)

intersection avec axe des ordonnées ==> x = 0 ==> y = .... ?

intersection avec axe des abscisses ==> y = 0 ==> x = ... ?

intersection avec axe des ordonnées : (0;2)
intersection avec axe des abscisses : ( 4;0)

Non ?

[zygomatique]

intersection avec axe des ordonnées : (0;2)
intersection avec axe des abscisses : ( 4;0)

Non ?

n'importe quoi ....

:mur:

[karine78]

quelle est le coefficient directeur de la droite passant par le point A(4, 2) et le point M(x, y) ?

Le coefficient directeur m de la droite passant par les points A (4;2) et M (x;y) est m = y-2/x-4

[zygomatique]

ok donc l'équation de la droite est bien y - 2 = m(x - 4) avec m < 0

ensuite ::

intersection avec axe des ordonnées ==> x = 0 ==> y = .... ?

intersection avec axe des abscisses ==> y = 0 ==> x = ... ?

[karine78]

ok donc l'équation de la droite est bien y - 2 = m(x - 4) avec m x = 0 ==> y = .... ?

intersection avec axe des abscisses ==> y = 0 ==> x = ... ?

intersection avec axe des ordonnées ==> x = 0 ==> y = -4m+2

intersection avec axe des abscisses ==> y = 0 ==> x = -2/m +4

[zygomatique]

:king2: .....................

[karine78]

:king2: .....................

Que faut-il que je fasse ensuite ?

[karine78]

Que faut-il que je fasse ensuite ?

Est ce que l'aire du triangle est égale à (-4m+2 * -2/m +4) /2 ?

Ensuite, j'ai dérivé cette fonction et j'ai calculé ses racines, j'ai trouvé m=-1/2 et m =1/2 mais j'ai gardé seulement m=-1/2 car m<0.

Puis j'ai cherché p grâce aux coordonnées xA et yA de A ( 4;2) et j'ai trouvé p=4

Au final, l'équation réduite donne y=-1/2x + 4

Est-ce juste ?

[zygomatique]

peut-être ne faudrait-il pas oublier les parenthèses

aire du triangle est s(m) = (2 - 4m)(4 - 2/m)/2 = .... ?

si l'aire est minimale alors s'(m) = 0

donc ....


qui est p ?

[karine78]

Aire du triangle : s(m)= (-2(2m-1)^2)/m
s'(m)= (-2(2m-1)(2m+1))/m^2

On résout s'(m)=0 , on trouve m = -1/2 ou m =1/2
Donc on prend -1/2 car m<0

p est l'ordonnée à l'origine de l'équation réduite que l'on cherche

[zygomatique]

mais l'ordonnée à l'origine de y - 2 = m(x - 4) est 2 - 4m !!!!

et si m = -1/2 ça fait effectivement 4

donc l'équation réduite de la droite est .... ?

[karine78]

mais l'ordonnée à l'origine de y - 2 = m(x - 4) est 2 - 4m !!!!

et si m = -1/2 ça fait effectivement 4

donc l'équation réduite de la droite est .... ?

L'équation réduite de la droite est -1/2x + 4 non ?