Une question de corps ...

par **Nightmare** » 12 Déc 2010, 22:28

benekire2 a écrit:Sinon je crois qu'il faut remlpacer tes p par p^2 dans ta première partie de message

je ne vois pas, où ça ?

par **benekire2** » 12 Déc 2010, 22:35

Ca concernait ben quand il voulait utiliser une cloture algébrique pour l'éxistence d'un corps a p éléments.

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 13:26

Bonjour,

Bon, finalement , en faisant exactement comme dans la construction de C a partir de R, je vois pas le ... changement a part que je le fais avec Z/pZ , donc, j'ai qu'à définir mes lois ,

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) ; (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad) [a,b,c,d dans Z/pZ] ; c'est bien un corps a p² éléments ,

La question que je me pose alors : Comment construire un corps à

éléments ? Ca doit bien être possible . . .

Merci !

PS. Bon, c'est un peu innocent la manière dont je l'ai écrit ,la question qui tue : ( c'est qui i ?? ) ; je répond simplement que "on s'en fout" , au lieu de construire sous la forme a+ib j'ai qu'a construire (a,b)(Z/pZ)² .

par **Ben314** » 13 Déc 2010, 13:32

benekire2 a écrit:Bonjour,

Bon, finalement , en faisant exactement comme dans la construction de C a partir de R, je vois pas le ... changement a part que je le fais avec Z/pZ , donc, j'ai qu'à définir mes lois ,

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) ; (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad) [a,b,c,d dans Z/pZ] ; c'est bien un corps a p² éléments ,

La question que je me pose alors : Comment construire un corps à éléments ? Ca doit bien être possible . . .

Merci !

PS. Bon, c'est un peu innocent la manière dont je l'ai écrit ,la question qui tue : ( c'est qui i ?? ) ; je répond simplement que "on s'en fout" , au lieu de construire sous la forme a+ib j'ai qu'a construire (a,b)(Z/pZ)² .

As tu tout bien vérifié concernant le fait que ton "truc" était un corps ?
Indication : ce n'est pas toujours un corps, cela dépend de la valeur de p, par exemple, pour p=2, ce n'est pas un corps...

par **benekire2** » 15 Déc 2010, 17:23

Bonsoir,

J'ai une autre question sur les corps, mais qui n'a rien a voir :

Soit G un groupe fini d'ordre n . On suppose que pour tout diviseur d de n l'ensemble des x de G tels que

(le neutre) a un cardinal inférieur ou égal à d. Montrer que G est cyclique En déduire que le groupe multiplicatif d'un corps (commutatif) fini est cyclique.

Merci de votre aide !

par **Doraki** » 15 Déc 2010, 17:33

Déjà, t'as vérifié qu'un groupe cyclique d'ordre n il vérifie la contrainte ?

par **benekire2** » 15 Déc 2010, 18:06

Oui, Z/nZ vérifie la contrainte ,(sauf erreur :ptdr: ) , c'est la réciproque qui m'a l'air plus dure

par **ffpower** » 15 Déc 2010, 18:15

La méthode classique est :
Pour d divisant n, soit nd le nombre d'éléments de G d'ordre exactement d.
-Que vaut la somme sur d des nd?
-Par quoi se majore nd?

par **benekire2** » 15 Déc 2010, 18:24

Salut FF , je te comprends pas trop en fait, désolé :cry: Qu'est-ce que "la somme sur d des nd" ?

par **Nightmare** » 15 Déc 2010, 18:58

Salut,

déjà, que va-t-on vouloir montrer? La conclusion va être "donc K* est cyclique", quelle va être notre phrase juste avant?

Ensuite, un petit indice en rapport avec ce qu'on a fait dans ce topic : Quel lien entre ton ensemble, c'est à dire celui des éléments de G d'ordre d, et les racines du polynôme X^d-1 ?

par **benekire2** » 15 Déc 2010, 19:46

Nightmare a écrit:Salut,

déjà, que va-t-on vouloir montrer? La conclusion va être "donc K* est cyclique", quelle va être notre phrase juste avant?

Ensuite, un petit indice en rapport avec ce qu'on a fait dans ce topic : Quel lien entre ton ensemble, c'est à dire celui des éléments de G d'ordre d, et les racines du polynôme X^d-1 ?

Salut nightmare

La phrase d'avant risque d'être que l'on a montré que le groupe est engendré par un élément a , et que G=

Sinon, les éléments d'ordre d dans G sont des racines du polynôme X^d-1 , mais ce polynôme a aussi pour racine les éléments d'ordre divisant d .

par **Nightmare** » 15 Déc 2010, 19:57

benekire2 a écrit:
La phrase d'avant risque d'être que l'on a montré que le groupe est engendré par un élément a , et que G=

Ok, mais ici, puisque l'énoncé nous parle d'ordres des éléments, on sait particulièrement ce qu'on veut obtenir avec la notion d'ordre pour avoir un groupe cyclique. Quelle est cette caractérisation?

Sinon, les éléments d'ordre d dans G sont des racines du polynôme X^d-1 , mais ce polynôme a aussi pour racine les éléments d'ordre divisant d .

Oui, mais quel est l'avantage de l'ensemble des racines du polynôme X^d-1 au niveau de sa structure?

par **Doraki** » 15 Déc 2010, 20:13

benekire2 a écrit:Oui, Z/nZ vérifie la contrainte ,(sauf erreur :ptdr: )

T'as pas une observation à faire du genre, est-ce que ça vérifie la contrainte de justesse ou est-ce que y'a de la marge ?

par **benekire2** » 16 Déc 2010, 00:51

Merci nightmare! j'ai pu conclure, en considérant le ppcm pour la première question et pour la deuxième on a juste a dire que le polynome X^d-1 a au plus d racines.
Merci a doraki pour les conjectures aussi! c'est très probable que je revienne avec pleins de questions sur les groupes...

par **Nightmare** » 16 Déc 2010, 12:40

Le fait que X^d-1 a au plus d racines n'est pas suffisant il y a pas mal de choses à écrire. Comment t'en es-tu sorti?

Au passage, où intervient la commutativité? :lol3:

par **benekire2** » 16 Déc 2010, 13:01

Nightmare a écrit:Le fait que X^d-1 a au plus d racines n'est pas suffisant il y a pas mal de choses à écrire. Comment t'en es-tu sorti?

Au passage, où intervient la commutativité? :lol3:

Salut Nightmare ! Sur mon brouillon , ça à l'air un peu vaseux et vu l'heure je ne doute pas que mon raisonnement soit faux .. je te rédige ça carré carré ce soir , sinon, je sais que tout corps fini est commutatif, donc l'hypothèse commutativité ne semble pas jouer :hein:

par **Nightmare** » 16 Déc 2010, 13:05

Et pourtant, elle est bien présente !

Quelles sont les racines du polynôme X²+1=0 dans le corps des quaternions par exemple?

par **benekire2** » 16 Déc 2010, 13:26

Nightmare a écrit:Et pourtant, elle est bien présente !

Quelles sont les racines du polynôme X²+1=0 dans le corps des quaternions par exemple?

Je vais revoir ma preuve en rentrant alors (j'ai pas accès a mon brouillon pour l'instant ) :mur:

par **benekire2** » 17 Déc 2010, 12:58

En fait en relisant ma preuve, la commutativité intervient du fait que si a est d'ordre n et b d'ordre m alors la commutativité est nécéssaire pour savoir que ab est d'ordre nm.

par **Nightmare** » 17 Déc 2010, 13:08

Oui mais ce n'est pas là où ça a réellement son importance. La commutativité ici est principalement pour assurer que X^d-1 ait effectivement au plus d racines. (Mon exemple, X²+1, montre que sans commutativité, un polynôme peut avoir plus de racine que son degré)

Une question de corps ...

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