Corps de rupture - Corps de décomposition

[wiskundige]

Bonjour,

J'ai deux questions : l'une sur l'existence des corps de rupture, et l'autre sur le degré des corps de décomposition.

Tout d'abord, dans la preuve d'existence des corps de rupture, on écrit la chose suivante :

Soit un corps, irréductible.
Alors, est un corps car irréductible et principal.
Soit la projection canonique. est injective et donc sous corps de isomorphe à .
Soit . Alors, (là, je ne comprends pas pourquoi on a ???)
On a donc (d'où vient cette égalité ???) = corps de rupture de .


Ensuite, concernant les corps de décomposition, on dit que si est un corp, de degré , et un corps de décomposition de sur , alors, . Là encore, je ne vois vraiment pas d'où ça sort...

De manière plus générale, je ne vois pas comment trouver le degré d'une extension de corps...
On a fait un exemple qui est le suivant :
, .
et
J'avais cru comprendre pour le premier exemple, en me disant que et que , mais, d'après ce raisonnement, on devrait avoir également...

Bref, si quelqu'un pouvait m'éclairer, ce serait super !

[Mimosa]

Bonjour

Première question: Tout simplement est un morphisme d'anneau. Donc pour tout entier . Pour tout polynôme on peut faire la division euclidienne avec ou et alors . Maintenant tu peux montrer que .

Deuxiéme question: Essaye par récurrence.

Troisième question: Dans regarde les puissances successives de

[GaBuZoMeu]

À mon avis, la transcription correcte serait plutôt , n'est-ce pas ?
Alors, c'est une propriété générale pour les morphismes de -algèbres: si est un tel morphisme et , alors pour tout on a : .