Polynome corps de rupture extension de corps

[babylionne93]

bonjour à tous , en espérant que vous allez pouvoir m'aider

soient f= X^3-X-1 et g= X²+1 et a un zéro de f et b un zéro de g dans Q

1) montrer que f et g sont irréductibles dans Q[x]
2) calculer [Q(a,b):Q]
3) déterminer Q(a)inter Q(b)
4) montrer que (ab)²appartient à Q(a) et construire le polynome minimal de (ab)² sur Q
5)calculer [Q(ab):Q] et déduire de ce qui précède le polynome minimal de ab sur Q

donc pour la 1) c'est bon
pour la 2) [Q(a,b):Q]=[Q(a,b):Q(a)]x[Q(a):Q]=deg f x deg g = 2x3=6

mais pour le reste je n'en ai aucune idée

merci d'avance pour les pistes que vous allez me donner

[Nightmare]

Salut,

2) Pourquoi [Q(a,b):Q(a)]=deg(f) ? C'est vrai, mais pas immédiat.

Pour Q(a) inter Q(b), quelle est la forme des éléments de chacune des deux extension?

[babylionne93]

oui pour la 2) il faut faire les deux sens

pour la 3) comment on trouve la forme des éléments ?

merci

[Nightmare]

Ben c'est ce que je te demande, qu'est-ce donc que Q(a) et Q(b)? Pour trouver leur intersection, il faut d'abord savoir ce qu'ils sont ces ensembles...

[babylionne93]

on me dit que a est un zéro de f et que b est un zéro de g dans Q
mais je ne sais pas quels sont les ensembles Q(a) et Q(b)

[Nightmare]

Et tu ne t'es pas dit que ça aurait été bien d'aller voir dans ton cours?

Tu as bien résolue les premières questions, comment as-tu fait sans savoir ce que signifie Q(a) ?

[babylionne93]

parce que les deux premières questions ont les a faites en TD
et meme dans le cours on ne nous dit pas à quoi correspont Q(a) et Q(b)

je pensais que quelqu'un le savait

[Nightmare]

Ca m'étonnerait que tu n'ais pas vu en cours la définition de l'extension d'un corps engendré par un élément algébrique, c'est une des premières choses qu'on voit dans ce cours :cry:

[babylionne93]

je viens de regarder mon cours
il n'y a aucune proposition sur cette notion

je vais me débrouiller toute seule ou demander à quelqu'un d'autre

bonne journée

[Nightmare]

Comme tu le sens, mais je crois qu'on te répondra la même chose que moi...

C'est un peu comme si tu avais un exercice où on te demande de calculer une dérivée et que tu ne sais pas ce qu'est une dérivée... Tu vas te dire quoi, que c'est le prof qui est maboule ou que c'est toi qui a peut être omis d'écouter au moment où il en a parlé?

@+

[Ben314]

Salut,
Tient, ya qu'à dire que le "quelqu'un d'autre" à qui tu demande c'est moi :zen:
Ben je confirme que ça me ferait assez mal au fesse qu'on te donne à chercher un exercice parlant de Q[a] alors qu'on ne t'as pas défini ce que c'était que Q[a] !!!!!

Comme je suis bien brave :marteau: , je te donne quelques possibilités de définition :
- (théorique) Q(a) est le plus petit sous corps de C contenant a.
- (moins théorique) Q(a) est l'ensemble des complexes z pouvant s'écrire z=f(a) où f est une fraction rationnelle (le quotient de deux polynômes) à coefficients dans Q.

[Nightmare]

j'allais dégainer mon "bouhh t'es nul, ça c'est Q[a]" mais tu as été trop rapide :lol2:

[Ben314]

j'allais dégainer mon "bouhh t'es nul, ça c'est Q[a]" mais tu as été trop rapide :lol2:

J'ai effectivement tapé sans trop réflechir vu que, dans le contexte où a est algébrique....
Puis je me suis ensuite dit que, vu qu'il semblerait que la définition se soit un peu "effacée" de la cervelle de babylionne93, ben valait p'tête mieux que je donne la bonne définition et, surtout que je regarde si dans l'exercice il était écrit Q[a] ou Q(a)...

@babylionne93 : donc, en fait, ici, pour "décrire" Q(a), il vaut mieux savoir que, dans le contexte de l'exercice, on a Q(a)=Q[a]. Questions :
a) c'est quoi Q[a] ?
b) pourquoi as t'on Q(a)=Q[a] ?

[Nightmare]

Oui tu as bien fait. En fait, d'après mon prof, dans la plupart des cours d'introduction à la théorie de Galois, il n'est même pas fait référence aux extensions transcendantes, et les extensions ne sont considérés que pour des éléments algébriques, si bien que, par exemple dans mon cours, k[a] a directement été introduit comme étant égal au plus petit corps contenant a inclus dans k, ce n'est que plus tard qu'on a dit que c'était en fait k(a), et que dans toute notre étude k(a)=k[a]