Une question de corps ...

[benekire2]

Bonsoir,

Je viens de tomber sur un exercice que je n'arrive pas a résoudre :

Soit un nombre premier. Montrer qu'il existe un corps à éléments.

Je suis on-ne-peut plus sec , on m'aurait dit à p éléments ... ok :ptdr: mais là :doh:

Merci !

[Doraki]

Essaye de construire un corps à 4 éléments !

[Nightmare]

Salut,

tu as trouvé ça dans un bouquin de sup? Je ne sais pas s'il existe une réponse "simple" à ce niveau, mais en tout cas, regarde le plus petit corps contenant les racines de sur . Il y en a exactement p².

[benekire2]

Nightmare > Pas dans un "bouquin" mais bel et bien sur des exercices de sup ... dans le chapitre polynômes. Je ne suis pas sûr de comprendre totalement ton indice, mais je vais chercher quand même :lol3:

Est-ce que chercher sur un exemple ( comme le suggère Doraki) va m'apporter une construction simple à la "généralisation" pour tout p premier ?

[Nightmare]

As-tu vu la notion d'anneau quotient? Par exemple, est-ce que la notation te parle?

[vincentroumezy]

Tu es en terminale bebekire 2, tu as l'air assez calé (quand je me compare à toi, quoi qu'en algèbre...) ?

[benekire2]

Bah , je connais le quotient par relation d'équivalence mais là , je vois pas la relation d'équivalence en question :mur:

EDIT. Bon, j'ai été voir sur wikipédia, c'est bien un quotientage par la relation d'équivalence de congruence modulo l'idéal engendré par X²+X+1 ; je vais creuser.

EDIT 2. Vincent > Ca dépend vraiment de ce que tu appelle calé en math ; je fais surtout ce qui m'intéresse et ce que l'on me conseille de faire parce que "ça sert énormément" , je suis effectivement en Terminale S. Sinon, je vois pas trop pourquoi tu cherche à comparer ton "niveau" , ça veut pas dire grand chose : Quelqu'un qui en sait plus que toi est pas forcément meilleur, et puis meilleur c'est quoi au juste ? Bref

[Euler07]

Anneau quotient ? C'est en mp ça

[Nightmare]

Bon, je pense qu'on devrait pouvoir s'en sortir élémentairement en suivant mon premier post.

si tu reprends mon polynôme X^p²-X sur Z/pZ, pourrais-tu me montrer :

1) Qu'il a p² racines

2) Que l'ensemble de ses racines est un corps

[benekire2]

Anneau quotient ? C'est en mp ça

Bof, faut savoir ce qu'est une relation d'équivalence et ça fait partie des hors programmes courant de MPSI d'après ce que je vois. . .

[Nightmare]

EDIT. Bon, j'ai été voir sur wikipédia, c'est bien un quotientage par la relation d'équivalence de congruence modulo l'idéal engendré par X²+X+1 ; je vais creuser.

Je te conseillerais plutôt de ne pas creuser de ce côté là si tu ne veux pas t'embrouiller :lol3:

[Nightmare]

Bof, faut savoir ce qu'est une relation d'équivalence et ça fait partie des hors programmes courant de MPSI d'après ce que je vois. . .

Attention, groupes quotient / anneau quotient, c'est la même idée mais pas vraiment la même chose et l'étude est assez différente.

[vincentroumezy]

Bon au sens ou tu maitrise des trucs en prépa, je ne me compare pas à toi, je sers d'étalon, c'est tout, et je ne parle pas du cheval.

[benekire2]

Bon, je pense qu'on devrait pouvoir s'en sortir élémentairement en suivant mon premier post.

si tu reprends mon polynôme X^p²-X sur Z/pZ, pourrais-tu me montrer :

1) Qu'il a p² racines

2) Que l'ensemble de ses racines est un corps

Bon, je vais creuser dans cette direction puisque tu le propose :lol3:

Sinon, je me doute que l'étude doit être sacrément différente sinon, il n'y aurait pas un nom pour ça. Et wiki semble me dire que ça joue un rôle important en théorie de Galois.

[Ben314]

Salut,
Le petit problème avec la méthode suggérée par Nightmare c'est de savoir où tu les prend les racines du polynôme en question (moi et lui on sait, mais...)
Si tu veut rester "total basique", tu as vu que l'on peut présenter la construction de C et disant qu'on "invente" un nouvel élément (à savoir i) et que l'on considère tout ce que l'on peut écrire x+iy avec x,y dans R. On montre ensuite que c'est un corps uniquement en supposant que les règles de calculs usuelles sont les mêmes que dans R et que i²=1.
Une telle construction est elle possible dans Z/pZ ?
Quel relation doit vérifier l'élément omega qu'on "ajoute" pour que l'on obtienne bien un corps ?

Si tu veut rendre ça plus "formel", il te suffit de dire que tu cherche à inventer une multiplication sur le Z/pZ espace vectoriel (Z/pZ)² (i.e. tu considère les couples (x,y) d'éléments de Z/pZ munis de l'adition usuelle et tu veut définir une multiplication) et que tu aimerais que Z/pZ s'identifie à l'ensemble des couples (x,0).

[Nightmare]

Une précision qui a son importance quand même et qui fait que ça nécessite tout de suite un peu plus de connaissances :

Je l'ai dit, on regarde le polynôme X^p²-X sur Z/pZ. Un résultat important à savoir pour donner un sens à l'exercice, c'est qu'étant donné un corps (fini ou non) quelconque et un polynôme à coefficients dans ce corps, on peut toujours construire un corps plus ou moins abstrait dans lequel notre polynôme a toutes ses racines. Le "plus petit" d'entre eux s'appelle un corps de décomposition. Plus gros encore, on pourra toujours construire un corps qui contient toutes les racines de tous les polynômes du corps de base et dont réciproquement tous les éléments sont des racines de polynôme à coefficient dans le corps de base (les éléments sont dit algébriques sur le corps de base, ça devrait te parler), et ce corps, unique à isomorphisme près, s'appelle une clôture algébrique du corps de base.

C'est dans la clôture algébrique de Z/pZ qu'on va compter ses racines. Pour ça, tu peux dériver formellement le polynôme et voir ce qu'il se passe.

Sinon, pour montrer que c'est un corps, ça c'est pas trop difficile, faut revenir à la définition.

Edit : ah ben le temps que je tape, Ben est passé à l'action

[benekire2]

Salut,
Le petit problème avec la méthode suggérée par Nightmare c'est de savoir où tu les prend les racines du polynôme en question (moi et lui on sait, mais...)

Oui j'ai vu. On n'a pas préciser dans quelle extension de Z/pZ on prend les racines et justement je vois pas... Tu peut me dire stp?
merci!

Edit. Merci nightmate. En dérivant je devrais montrer que P est a racines simples et donc simplement scindé sur sa cloture algébrique.

[Ben314]

Oui j'ai vu. On n'a pas préciser dans quelle extension de Z/pZ on prend les racines et justement je vois pas... Tu peut me dire stp?
merci!

Ben comme le dit Nightmare, on les prend dans la cloture algébrique...
Sauf que on fait comme pour construire la cloture algébrique ? Ben justement, on fait des quotients en cascade (et on passe à la limite...)
Ca me donne un peu l'impression que d'utiliser l'existence d'une cloture algébrique pour montrer qu'il existe un corps à p élément, c'est un peu "le buldozer pour écraser des mouches" (sans parler du fait que je suis pas certain que ça se mord pas un peu la queue : lorsque tu fait la preuve de l'existence d'une cloture algébrique, tu as écrit quasiment tout ce qui est nécéssaire à la preuve de l'existence d'un corps à p éléments).

Bon, tout ça pour redonner mon avis : si tu connait une méthode pour construire C (qui est un R-espace vectoriel de dimension 2), ben tu peut en pomper les 4/5 (mais pas tout...) pour fabriquer un corps à p² éléments (qui sera bien sûr un Fp-espace vectoriel de dimension 2).

Et, pour "voir" comment ça peut marcher, je te suggérerais bien de faire ce que dit Doraki : commencer par p=2 (encore que c'est un peu "le" cas particulier)

[Nightmare]

A la limite, on a besoin que d'un corps de décomposition et là ça ne se mord plus vraiment la queue. Par contre, l'existence d'un corps de décomposition ça ça mord la queue à mon post sur les anneaux quotients.

[benekire2]

Dans mon message j ai edité après avoir vu le message de nightmare.
Sinon je crois qu'il faut remlpacer tes p par p^2 dans ta première partie de message parce que deq corps a p elements c est facile...