Une question de corps ...

[benekire2]

En effet, dans le corps non commutatif des quaternions, i²=j²=k²=-1 ; merci nightmare :we:

[Ben314]

En effet, dans le corps non commutatif des quaternions, i²=j²=k²=-1 ; merci nightmare :we:

Et encore, ce ne sont que 4 exemples : dans l'ensemble des quaternions, l'équation x²=-1 admet une infinité de solutions...

[benekire2]

Et encore, ce ne sont que 4 exemples : dans l'ensemble des quaternions, l'équation x²=-1 admet une infinité de solutions...

Oui , je ne connais pas les quaternions et leur construction , je sais simplement que c'est un corps non commutatif , alors si tu dit qu'il y a une infinité de quaternions racine de X²+1 je te crois :ptdr:

[Ben314]

La définition des quaternions, c'est on ne peut plus élémentaire :
C'est l'ensemble des matrices de la forme où (attention : c'est un -espace vectoriel, mais pas un -espace vectoriel à cause des conjuguée)

j'espère que ça te fait penser à une autre construction connue...

Voit tu qui sont "I", "J", "K" ?
Pourquoi est-ce un corps ?
Quelles sont les solutions de dans ce corps ?

[benekire2]

La définition des quaternions, c'est on ne peut plus élémentaire :
C'est l'ensemble des matrices de la forme où (attention : c'est un -espace vectoriel, mais pas un -espace vectoriel à cause des conjuguée)

j'espère que ça te fait penser à une autre construction connue...

Voit tu qui sont "I", "J", "K" ?
Pourquoi est-ce un corps ?
Quelles sont les solutions de dans ce corps ?

Ben ça rapelle grandement la construction de C , sauf que pour C on enlève "les conjugués" , après je pense me débrouiller pour trouver une base de ce R-espace vecoriel et montrer que c'est un corps et tout et tout

[Ben314]

Bon, d'un autre coté, ça s'éloigne légèrement de ta question initiale.

Une indication pour ton histoire de sous groupe fini du groupe multiplicatif d'un corp : en général, on utilise l'indicatrice d'euler qui désigne le nombre d'éléments inversibles de l'anneau Z/nZ (c'est à dire le nombre de qui sont premier avec )...

[benekire2]

Bof , c'est pas grave si on s'écarte ,

Sinon, ba , j'ai trouvé , une question avant me demandais de montrer qu'il existat un élément de G d'ordre le ppcm des ordres des éléments de G et ... ça aide beaucoup :we:

[Doraki]

moi ma preuve préférée c'est :

- si G est un groupe cyclique d'ordre n, engendré par x, alors il a exactement d éléments y / y^d=e, pour tout d divisant n, à savoir les x^(k(n/d)).

- si H est un groupe d'ordre n ayant au plus d éléments y / y^d=e pour d divisant n, alors pour tout d, il contient au plus autant d'éléments y / y^d=e que G. Mais comme il a autant d'éléments au total que G, les inégalités sont des égalités. Et donc pour tout d, H a autant d'éléments d'ordre d que G.

Comme G a un élément d'ordre n, H aussi, donc H est cyclique.

(bon en fait y'a quand même un passage pas clair c'est pas aussi bien que je le pensais)

[Ben314]

moi ma preuve préférée c'est :

- si G est un groupe cyclique d'ordre n, engendré par x, alors il a exactement d éléments y / y^d=e, pour tout d divisant n, à savoir les x^(k(n/d)).

- si H est un groupe d'ordre n ayant au plus d éléments d'ordre d pour d divisant n, alors pour tout d, il contient au plus autant d'éléments y / y^d=e que G. Mais comme il a autant d'éléments au total que G, les inégalités sont des égalités. Et donc pour tout d, H a autant d'éléments d'ordre d que G.

Comme G a un élément d'ordre n, H aussi, donc H est cyclique.

(bon en fait y'a quand même un passage pas clair c'est aussi bien que je le pensais)

Ca évite effectivement de parler d'indicatrice d'Euler (mais elle n'est pas trés loin), par contre, il me semble bien que la partie soulignée est à remplacer par "au plus d éléments dont l'ordre divise d"

[Doraki]

oui les contraintes parlent du nombre de y / y^d = e, mais l'argument de comptage et de comparaison se fait sur le nombre de y d'ordre d. et j'ai un peu mélangé les deux quand j'ai écrit mon truc avant de me rendre compte que ça n'allait pas.