Topologie

par **kikumizanu** » 18 Sep 2009, 17:13

salut
On se place dans Z (entiers relatifs) et on pose N(a;b) une partie de Z comme étant des entiers x avec x= a+bn où a et n sont des entiers relatifs et b un entier strictement positif.
Soit A l'ensemble des parties B de Z definie comme suit:
pour tout a appartenant à B il existe b strictement positif tel que N(a;b) est inclus dans B.
question: A definit-elle une topologie sur Z ?
et dans ce cas est -ce que N(a;b) est un-il un ouvert?

par **Nightmare** » 18 Sep 2009, 18:34

Salut !

Eh bien, il suffit de vérifier les axiomes pour avoir une topologie !

Est-ce que Z est dedans? Est-ce stable par passage au complémentaire et par union dénombrable?

par **abcd22** » 18 Sep 2009, 18:47

Bonsoir,

Nightmare a écrit:Est-ce que Z est dedans? Est-ce stable par passage au complémentaire et par union dénombrable?

Tu fais trop de probas ! :-)

par **Nightmare** » 18 Sep 2009, 22:53

Euh ... Oui je sais pas pourquoi je pensais aux tribus. Les cours de théorie de la mesure commencent à me monter à la tête !

Bon bref, il a compris, il faut vérifier les (bons) axiomes de définition.

par **yos** » 19 Sep 2009, 08:49

Pour la stabilité par intersection finie, il faut peut-être prendre

.
Les ouverts sont pas évident à se représenter, en dehors des classes modulo b.

par **mathelot** » 19 Sep 2009, 10:05

bonjour,

si on appelle

une "périodicité" (les éléments se répètent à intervalles réguliers, tous les b)

un ensemble ouvert est un ensemble, qui pour chaque élément a,
contient au moins une périodicité contenant a.

a fixé, le ppcm des b1,b2,..bk doit donner la stabilité par intersection finie.

les N(a,b) forment une base dénombrble de voisinages

aucun ensemble fini( sauf le vide) n'est ouvert.

par **kikumizanu** » 20 Sep 2009, 17:45

salut
donc N(a;b) est un ouvert .......et un fermé !!!
Es-tu Ok?

par **yos** » 20 Sep 2009, 18:15

Oui : le complémentaire d'une classe modulo b est la réunion des autres classes modulo b et une réunion d'ouverts est ouverte.

par **kikumizanu** » 21 Sep 2009, 13:30

ciao
..et que dire de l'union des N(a+i;b) avec i =1,2,3,...;(b-1).???
C'est bien une union finie de fermés..et donc c'est un fermé !! et un ouvert !!
Ok ??
Merci

par **yos** » 21 Sep 2009, 15:48

Normal : c'est le complémentaire de N(a,b) (qui est ouvert et fermé).

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