Topologie

par **DTB** » 27 Nov 2008, 19:19

Bonsoir, j'aurai une question
f continue
A dense dans E comment montrer que f(A) est dense dans f(E)?
merci

par **seriousme** » 27 Nov 2008, 20:00

De manière informelle :
Soit

.
A est dense dans E donc dans toute boule ouverte de E centrée en x se trouvent des éléments de A.
f est continue donc l'image de cette boule ouverte contient les images de ces éléments à une distance aussi petite que possible de f(x).
Donc toute boule ouverte de f(E) centrée en f(x) contient des éléments de f(A).
Donc f(A) est dense dans f(E).

par **DTB** » 27 Nov 2008, 20:04

ok merci...je n'avais pas pensé à cette caractérisation de la continuité!

par **yos** » 27 Nov 2008, 20:04

Bonsoir.
Tu peux montrer que f(A barre) est inclus dans f(A) barre.

par **R.C.** » 27 Nov 2008, 20:05

Bonjour,
J'ai l'impression que l'idée de seriousme est bonne. Je reformule un peu : tu prends un ouvert U de f(E), son image reciproque est un ouvert de E qui intersecte donc A par densité, et donc U intersecte f(A).

par **ThSQ** » 27 Nov 2008, 22:04

ouvert non vide :fire:

par **R.C.** » 27 Nov 2008, 22:18

oups. :cut:

par **ThSQ** » 27 Nov 2008, 22:29

C'était une taquinerie :chaise: :hey:

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