Topologie

[jeje56]

Bonjour,

Je dois MQ c(N), l'espace vectoriel des suites convergentes de C est un fermé de

Je ne vois pas comment démarrer...

Merci d'avance...

[jeje56]

Personne ?...

[abcd22]

Bonjour,
On prend une suite de suites convergentes, on suppose qu'elle converge vers une suite u pour la norme infinie. On note la limite de la suite (je note les suites u_n comme des fonctions car je trouve que c'est plus clair que de mettre des indices doubles).
1) Montrer que la suite (complexe) converge (Indice : montrer qu'elle est de Cauchy).
2) On note l la limite de (l_n). Montrer que u converge vers l.

[jeje56]

D'accord... Peux-tu dire ce que tu utilises pour prouver que c(N) est fermé ? Quelles définitions ?

Thanks !

[abcd22]

Ben on montre que si une suite d'éléments de c(N) converge dans , alors sa limite est dans c(N).

[jeje56]

J'ai du mal à me souvenir de tout ça...

F dans E est fermé ssi toute suite convergente de F à sa limite dans F ?

Merci !

[tize]

Bonjour,
une autre manière de procédé est me semble-t-il de montrer que est continue de dans C ainsi que et ensuite de dire que avec

[jeje56]

Bonjour,
On prend une suite de suites convergentes, on suppose qu'elle converge vers une suite u pour la norme infinie. On note la limite de la suite (je note les suites u_n comme des fonctions car je trouve que c'est plus clair que de mettre des indices doubles).
1) Montrer que la suite (complexe) converge (Indice : montrer qu'elle est de Cauchy).
2) On note l la limite de (l_n). Montrer que u converge vers l.

Voilà ma rédaction pour le 1) :


Donc, en faisant tendre k vers l'infini :

Ce qui prouve que est de Cauchy dans

Est-ce exact ? Pour le 2) je ne parviens pas clairement à MQ u -> l...

Merci bcp !

[jeje56]

Personne ?...

[Maxmau]

Voilà ma rédaction pour le 1) :


Donc, en faisant tendre k vers l'infini :

Ce qui prouve que est de Cauchy dans

Est-ce exact ? Pour le 2) je ne parviens pas clairement à MQ u -> l...

Merci bcp !

Bj
Je note N la norme infinie
| L – U(k)| 0 , il existe n0 tel que | L – Ln0| + N(Un0 – U) < /2
| L – U(k)| <= | Ln0 – Un0(k)| + /2
Je te laisse terminer

Ce résultat est un cas particulier d'un th classique de permutation de limites

[jeje56]

Merci Maxmau, l'utilisation de ce th est justement introduite par la question précédente... C'est un th sur la convergence uniforme des fonctions appliqué ici au cas particulier des suites c'est bien ça ?

La suite de la question est de MQ , l'esnemble des suites de limite nulle, est un fermé de , ensemble des suites convergentes

Je pense que le th ne peut pas nous servir ici... Comment prouver ceci ?

Merci bcp !

[Maxmau]

Merci Maxmau, l'utilisation de ce th est justement introduite par la question précédente... C'est un th sur la convergence uniforme des fonctions appliqué ici au cas particulier des suites c'est bien ça ?

La suite de la question est de MQ , l'esnemble des suites de limite nulle, est un fermé de , ensemble des suites convergentes

Je pense que le th ne peut pas nous servir ici... Comment prouver ceci ?

Merci bcp !

OUI c'est bien ça

pour le reste, est ce que ce n'est pas le cas où tous les Ln sont nuls (notations précédentes)

[mathelot]

est un fermé et un idéal. on quotiente,la topologie quotient est séparée.