Topologie

[jeje56]

Bonjour,

Je cherche une démonstration de la propriété suivante :

E étant un EVN de Banach et F fermé de E, alors E/F est de Banach

Merci bcp d'avance !

[ffpower]

Bon,je noterai N la norme sur E et N' la norme sur E/F.Par deifnition,si x+F est un element de E\F,N'(x+F)=inf(N(y),y dans x+F) (c l inf des norme des représentants)
Montrons que toute série absolument convergente est convergente.Soit Yn=xn+F une suite d elements de E\F telle que la somme des N'(Yn) converge.
Quitte a remplacer xn par un autre représentant,on peut supposer N(xn) inferieur a N'(Yn)+1/2^n.Mais alors, la somme des N(xn) converge,donc la somme des xn converge dans E.Notons s la somme des x_n,et T=s+F la classe de s.On a plus qu a montrer que la somme des Yn converge vers T.Or


puisque la norme dans E/F d une classe est inferieeure a la norme de n importe quel représentant.La 2 eme quantité tend vers 0,donc la premiere aussi.on a donc montré que toute série abso convergente est convergente,donc E/F est complet..

[ThSQ]

On peut le faire directement aussi :

une suite de Cauchy de E/F

Quitte à extraire (pour des facilités de notation) on peut supposer que
On prend dans F tel que
On prend dans F tel que
....
On construit comme ça

est de Cauchy donc converge.

est de Cauchy et admet une sous-suite convergente donc converge.

[jeje56]

J'avoue ne rien comprendre à ta démo ThSQ...

[ffpower]

ca veut dire que t as compris la mienne^^

[jeje56]

Mieux déjà oui^^ Merci !

[ThSQ]

J'avoue ne rien comprendre à ta démo ThSQ...

Si celle de ffpower te convient alors te bile pas !


(Sinon l'idée c'est de construire de proche en proche une suite de Cauchy de E de la forme x_n + y_n avec y_n dans F.)

[jeje56]

Ok merci ThSQ

[ThSQ]

Ok merci ThSQ

De rien :happy2:
Faut reconnaitre que sans Latex c'était assez infect à lire, sorry ....