Topologie

[jeje56]

Bonjour,

E=R^n muni de la norme euclidienne
Soit C une partie de R^n non vide, fermée, bornée et convexe.
Soit f une application de C dans C telle que :
||f(x)-f(y)||<=||x-y||
Soit a dans C, pour n>=1 et x dans C on définit :
fn(x)=(a/n)+((n-1)/n)*f(x)

1. MQ fn est une application de C dans C ademttant un unique point xn tel que : fn(xn)=xn : ok (th du point fixe)
2. a) MQ de la suite (xn) on peut extraire une sous suite (xphi(n)) convergeant vers un pt b dans C : vrai car C compact

b) MQ f(b)=b : ici je ne vois pas...

c) MQ {x / f(x)=x} est non vide, convexe et compact.

Merci bcp d'avance...

[ThSQ]

2) ||f(x) - x || <= ||f(x) - f(xn) || + || f(xn) - fn(xn) || + || xn - x ||

3) non vide ok, compact bicose fermé (image réciproque de {0} par f(x)-x) dans un compact.

[jeje56]

2) Appliqué à x=b :
||f(b)-b||<=||b-xn||+||f(xn)-fn(xn)||+||b-xn||
Comment poursuivre?...

Merci bcp !

[ThSQ]

n = phi(n) et n -> +oo

La partie droite -> 0 donc f(b)=b

[jeje56]

Pourquoi le terme du milieu -> 0 ?

Thanks

[ThSQ]

Pourquoi le terme du milieu -> 0 ?

Thanks

bicose fn(x)=(a/n)+((n-1)/n)*f(x)