Topologie

par **minidiane** » 08 Déc 2007, 19:37

Bonsoir j'aimerai un peu d'aide svp, j'ai bientôt mon examen et j'ai des soucis pour certaines démonstrations.
Je n'arrive pas à montrer que si A est ouvert alors A+B est ouvert, si A et B sont compact alors A+B est compact, si A est compact et B est fermé alors A+B est fermé.
Pourtant ça ne devrait pas être trop compliqué :cry:

par **yos** » 08 Déc 2007, 19:52

Bonjour.
Le + signifie qu'on est dans un groupe topologique? dans un evt? un evn?
Disons un evt.

1) A+B est la réunion des A+b où

et chacun des A+b est ouvert (translaté de l'ouvert A).

2) Travaille avec des suites.

3) Suites encore.

par **ThSQ** » 08 Déc 2007, 20:04

J'y connais pas grand chose en evt (= rien sauf la déf que je viens de lire sur wiki :doh: :ptdr: ) mais est-ce qu'ils sont tous tels que compact ssi il existe sous-suite convergente (caractérisation séquentielle des espaces compacts, Bolzano - Weierstrass tout ça) ???

Pour le 2, une solution alternative :

A+B = image de (A,B) par '+' : (x,y) -> x+y qui est continue (y compris et surtout dans un evt) et (A,B) est un compact de E^2.

par **minidiane** » 08 Déc 2007, 20:08

En fait c'est un evn. A+B={x+y tq x appartient A et y appartient B}
Je ne sais pas ce que c'est un evt

par **yos** » 08 Déc 2007, 20:35

Un evn est un cas particulier d'evt donc c'est bon : regarde ce que je t'ai mis plus haut.

par **minidiane** » 09 Déc 2007, 08:40

Je n'arrive pas à démontrer les deux dernières propriétés avec les suites :mur:

par **yos** » 09 Déc 2007, 10:48

A, B compacts.
On prend une suite

dans A+B. Il faut montrer qu'on peut en extraire une sous-suite convergente.
Pour tout n,

avec

.
On peut extraire de

une sous-suite convergente

.
On extrait de la suite

une sous-suite convergente

.
La suite

converge aussi comme sous-suite d'une suite convergente.
La somme de ces deux dernières suites est la suite convergente

.

En résumé, il faut faire une double extraction.

par **minidiane** » 09 Déc 2007, 11:55

A oui d'accord c'est un peu compliqué je trouve

par **SimonB** » 09 Déc 2007, 12:13

minidiane a écrit:A oui d'accord c'est un peu compliqué je trouve

C'est une asssssstûce assez courante que de faire une double extraction -classiquement, si on a deux suites bornées dans un e.v.n.

et qu'on veut extraire

qui soient convergentes, on fait aussi une double extraction.

par **Joker62** » 09 Déc 2007, 12:56

Pour la dernière, c'est encore un peu plus technique je trouve...

Soit (xn) dans A+B avec lim x_n = x
Il faut montrer que x A+B

(x_n) A+B => Il existe (a_n) et (b_n) tel que x_n = a_n + b_n

(b_n) C B
=> il existe b'_n une sous suite convergente vers b
B Compact

En particulier x'_n converge vers x car x_n est convergente vers x

Donc a'_n = x'_n - b'_n est également convergente
Soit a sa limite, A fermé => a A
Et x = a+b
cqfd

par **yos** » 09 Déc 2007, 14:05

Contrex avec A et B fermés?

par **minidiane** » 09 Déc 2007, 15:16

yos a écrit:A, B compacts.
On prend une suite dans A+B. Il faut montrer qu'on peut en extraire une sous-suite convergente.
Pour tout n, avec .
On peut extraire de une sous-suite convergente .
On extrait de la suite une sous-suite convergente .
La suite converge aussi comme sous-suite d'une suite convergente.
La somme de ces deux dernières suites est la suite convergente .

En résumé, il faut faire une double extraction.

En faite je ne comprend pas très bien pourquoi on doit faire une double extraction pour b :hein:

par **ThSQ** » 09 Déc 2007, 15:47

yos a écrit:Contrex avec A et B fermés?

Le contrex à tout faire : droite réelle >= 0 + hyperbole 1/x ?

par **Joker62** » 09 Déc 2007, 15:48

Parce que x_n = a_n + b_n
C'est les mêmes indices...

Si tu fais une simple extraction de a_n et de b_n

Tu auras a'_n = a_phi(n)
et b'_n = b_psi(n)

rien ne dit que phi(n) = psi(n)
Donc on n'a pas construit de sous suite de x_n

D'où la double extraction

par **ThSQ** » 09 Déc 2007, 15:59

Tiens une extension possible (j'y réfléchis mais ça m'a l'air bon) :

Si A et B sont des convexes fermés (d'un evn pour faire simple), que peut-on dire de A+B ?

par **tize** » 09 Déc 2007, 18:42

Bonjour ThSQ,
je ne suis pas sur de bien avoir compris ce que tu voulais dire...la réponse est convexe, non ? (pas besoin de fermés)...

et

par **ThSQ** » 09 Déc 2007, 19:15

tize a écrit:Bonjour ThSQ,
je ne suis pas sur de bien avoir compris ce que tu voulais dire...la réponse est convexe, non ? (pas besoin de fermés)...
et

Oui bien sûr, si A et B sont convexes A+B aussi.

En fait je cherchais une condition à ajouter à A et B fermés (autre que A compact) pour que A+B soit fermé.
Je me disais que convexe ça avait l'air pas mal .... mais c'est idiot ça marche pas.

par **minidiane** » 09 Déc 2007, 19:17

Joker62 a écrit:Parce que x_n = a_n + b_n
C'est les mêmes indices...

Si tu fais une simple extraction de a_n et de b_n

Tu auras a'_n = a_phi(n)
et b'_n = b_psi(n)

rien ne dit que phi(n) = psi(n)
Donc on n'a pas construit de sous suite de x_n

D'où la double extraction

Ah ok mais j'ai quand même un peu de mal à comprendre car il nous faut des sous suites qui convergent.
pour a'_n elle doit converger vers A et pour b'_n vers B et du coup je ne vois pas trop pourquoi on doit avoir phi(n) = psi(n) pour que ça marche.

yos a écrit:Contrex avec A et B fermés?

C'est quoi contrex?

par **yos** » 09 Déc 2007, 21:35

minidiane a écrit:C'est quoi contrex?

Contre-exemple!

Je pensais aussi à l'hyperbole et son asymptote mais je vois pas bien pourquoi A+B est pas fermé.
J'en ai trouvé un autre tout simple dans R.

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