Topologie !!

par **Elvis** » 01 Déc 2007, 16:38

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème concernant un exercice. Le voici :

on considère E l'ensemble des suites complexes u = (u_n) tq la série de terme général u_n converge absolument.
Après avoir munit E d'une structure d'espace vectoriel sur C, et après avoir défini la norme ||u|| = somme de |u_n| pour n=0 jusqu'à infini, montrer que E muni de cette norme est complet.

Mon problème est le suivant : je considère une suite de Cauchy et je veux prouver qu'elle converge.
Donc, soit (u_n) une suite de Cauchy :
pour tout epsilon, il existe N tq p,q >= N => ||u_p - u_q|| <= epsilon.

Mon souci est que je vois pas trop à quoi correspond la norme de ||u_p - u_q|| par rapport à la définition de ||u|| ... (c'est la somme de |u_p - u_q pour ?? allant de 0 jusqu'à infini ??)

Merci d'avance

par **legeniedesalpages** » 01 Déc 2007, 16:43

ton espace est un ensemble de suites,

donc tu vas considérer les suites de cauchy de cet espace, et pour une telle suite de Cauchy, chacun des termes de la suite sera une suite de C.

par **Elvis** » 01 Déc 2007, 17:07

Donc si je cromprends bien, je considère u_n une suite de cauchy de E. On a donc
pour tout epsilon, il existe N tel que p,q > N => ||u_p - u_q|| < epsilon.

Ensuite je fixe i que je considère comme les indices des composantes de la suite et je continue ... C'est cela ?

par **aviateurpilot** » 01 Déc 2007, 17:15

soit

une suite de cauchy tel que

.
donc

donc

par **Elvis** » 01 Déc 2007, 17:21

Pour ce qui est de la notation, ce sont les n qui sont les indices des composantes de la suite u_i ? Ou j'ai rien compris ...

par **Elvis** » 01 Déc 2007, 17:27

En fait, c'est le contraire il me semble ...

par **aviateurpilot** » 01 Déc 2007, 17:56

est une suite des suite.
chaque therme des

presente un element de

(une suite de

)
autrement dit, pour tout

est une suite.
j'ai noté cette suite

i c'est l'indice des cette suite qui varie dans N et n c'est fixé pour signalé que c'est la suite coorespandant à

je peux aussi la noté par exemple

comme si j'ai fait

tel que

par **legeniedesalpages** » 01 Déc 2007, 19:12

Elvis, tu devrais peut être avant tout vérifier que c'est bien une norme, ça pourrait t'aider à mieux voir les objets que tu manipules dans cet exo.

Topologie !!

Topologie !!

Qui est en ligne