Topologie

[Elvis]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème en topologie. Je vous le soumets ...

"montrer que dans un espace métrique séparé X, un ensemble réduit à un point est fermé".
(j'ai montré auparavant que ans un espace topologique, un point x est non isolé si et seulement si l'ensemble {x} est d'intérieur vide).

Je pensais utiliser la proposition prouvée pour la démo :

{x} ensemble réduit à un point fermé ?
C'est à dire X - {x} (son complémentaire) est ouvert ?
Je voulais donc montrer que X - {x} est isolé. Pour cela, je résonne par l'absurde en supposant qu'il ne l'est pas, c'est à dire que l'intérieur de cet ensemble est vide. Je devrais tomber sur une contradiction, mais non ...
Ce qui me pose problème, c'est que je n'utilise pas l'hypothèse de l'espace métrique séparé.

Merci de votre coups de mains.

[yos]

Si , tu as un ouvert U qui contient y et pas x. Ca veut bien dire que
X-{x} est ouvert.

[Elvis]

Ce que je comprends pas, c'est que dans ta démo, on identifie X à U ??

[yos]

Non.
Pour chaque y de X-{x}, il existe un ouvert U contenant y et contenu dans X-{x}. Donc ce dernier est voisinage de chacun de ses points, donc est ouvert.

[Elvis]

Merci bien pour le coup de pouce !