Topologie

[Elvis]

Bonsoir à tous

Me voilà confronté à deux questions de topologie qui résistent dur !

1° Montrer que : dans un espace métrique quelconque M, un sous-ensemble A est dense si et seulement si tout ouvert non vide de M rencontre A (d'où O intersection A différent du vide, où O est un ouvert non vide).

2° Montrer que dans un espace topologique, un point x est non isolé si et seulement si l'ensemble {x} est d'intérieur vide.
(un poi,t x est dit isolé si l'ensemble {x} est ouvert)

Pour la 1°, je ne comprends pas comment déduire cette propriété de la définition d'un ensemble dense (adhérence de A = M)

Pour la 2°, je bute sur la définition d'un ouvert d'un espace topologique. Je ne pense pas que je puisse dire qu'un ouvert est un ensemble O, tel que pour tout x appart. à O, il est existe r>0 tel que B(x,r) inclus dans O. Mais en définissant un ouvert comme un élément de parties de X, ça coince aussi ...

Merci d'avance pour votre aide !

[legeniedesalpages]

Bonjour, pour la 1°, c'est quoi ta définition de l'adhérence?

[tize]

Bonjour,
pour l'adhérence A : l'intersection de tous les fermés qui contiennent A ?
A est dense et O un ouvert non vide, si alors qui est fermé donc ...

[Elvis]

Voilà, l'adhérence est le plus petit fermé contenant A. C'est aussi l'intersection de tous les fermés de l'espace.

[ThSQ]

Pour le 2 :

Si {x} est d'intérieur vide il n'est pas ouvert et donc non isolé.

Si x est non isolé, {x} est non ouvert. Si {x} est d'intérieur non vide il contient un ouvert (non vide) qui contient forcément x : contradiction

[legeniedesalpages]

Bonjour Tize,

pour l'adhérence A : l'intersection de tous les fermés qui contiennent A ?

moi c'était défini comme la fermeture de A, et l'adhérence de A c'était l'ensemble des points adhérents (avec cette définition c'est direct), et on montrait un peu plus loin que c'était la même chose.

[Elvis]

Je viens de comprendre la démo du 1° ! Merci bien ! C'est toujours comme ça en topologie, c'est des arguments choisis judicieusement qu'il faut bien ajuster... Et ça doit pas être mon fort !

[Elvis]

Bonjour Tize,



moi c'était défini comme la fermeture de A, et l'adhérence de A c'était l'ensemble des points adhérents (avec cette définition c'est direct), et on montrait un peu plus loin que c'était la même chose.

En cours, j'ai vu que fermeture ou adhérence, c'étai pareil. C'est faux apparement ?

[legeniedesalpages]

Non c'est la même chose, c'est juste que dans mon cours c'est présenté autrement que dans le tien.

[Elvis]

Mais j'ai juste besoin d'une petite précision pour la question 2°. Quelle définition choisir pour les ouverts d'un espace topologique ? Celle avec les parties X ??

[tize]

Bonjour legeniedesalpages,
il est très possible que je l'ai vu de la même manière que toi...mais c'était il y a longtemps...ça rappelle des souvenirs... :we:

[ThSQ]

Mais j'ai juste besoin d'une petite précision pour la question 2°. Quelle définition choisir pour les ouverts d'un espace topologique ? Celle avec les parties X ??

A priori les ouverts définissent à eux seuls la topologie (ou alors j'ai rien compris)

[ThSQ]

En cours, j'ai vu que fermeture ou adhérence, c'étai pareil. C'est faux apparement ?

Dans mon bouquin c'est dit que c'est pareil.

[tize]

En cours, j'ai vu que fermeture ou adhérence, c'étai pareil. C'est faux apparement ?

Non, non ce n'est pas ce que legeniedesalpages a dit !

[legeniedesalpages]

Elvis, ici tu n'es pas forcémént dans un espace métrique, donc il n'est pas question de boules, tu prends la définition générale des ouverts.

[Elvis]

Ok, maintenant c'est clair comme de l'eau de roche !! Merci pour votre aide, ça fait toujours plaisir d'avoir des réponses rapides et très claires.