Topologie

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 09:36

Bonjour,
je n'arrive pas à trouver deux fermés A et B de R^n tels que A+B ne soit pas fermé, pouvez-vous m'aider svp?
Merci

par **Joker62** » 20 Oct 2007, 10:37

Tu veux un contre-exemple parce que tu crois que c'est possible où parce que t'as pas réussi à démontrer que c'était toujours vrai ?

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 10:53

euh j'aimerai un exemple car je pense que c'est possible

par **legeniedesalpages** » 20 Oct 2007, 10:59

Bonjour, je ne pense pas que ce soit possible de trouver un contre-exemple, utilise la caractérisation séquentielle d'un fermé.

par **Joker62** » 20 Oct 2007, 11:05

En fait, il y a deux cas à dissocier dans la démo.

En prenant x_n comme la somme de deux suites convergentes de A et B
Et en considérante uniquement x_n comme une suite convergente de A+B

Le premier cas est trivial à traiter,
Le deuxième est un peu plus complexe car une suite convergente peut être la somme de deux suites qui ne convergent pas.

Donc si on arrive pas à démontrer la deuxième partie, le contre-exemple consistera à trouver une suite convergente x_n de A+B qui s'écrit comme la somme d'une suite divergente et d'une autre qui converge ou pas

par **ThSQ** » 20 Oct 2007, 13:12

Dans le plan IR² tu peux prendre A = une hyperbole { xy = a > 0 } par exemple et B = droite réelle.
A+B rempli tout le plan sauf la droite réelle et donc n'est pas fermé.

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 13:26

J'ai pas trop compris :hum:

par **ThSQ** » 20 Oct 2007, 13:54

minidiane a écrit:J'ai pas trop compris :hum:

Ma réponse ou celle de Joker (voire les deux ...

) ?

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 14:14

la tienne principalement

par **ThSQ** » 20 Oct 2007, 14:57

minidiane a écrit:la tienne principalement

Ben, fais un dessin

Dessine l'hyperbole A = {x*y = 1} (par ex.)
Ajouter {(u,0)} à A revient à translater A de u. Du coup A + {(a,0), a IR} rempli tout l'espace sauf la droite réelle.

Ca c'est géométrique maintenant ça dot pas être trop dur d'écrire un truc + rigoureux

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 15:59

Je ne comprend pas pourquoi A et B sont fermés ici et pourquoi A+B ne l'est pas :mur:
Je penses que pour A et B en prenant le complémentaire on a toujours une boule autour de chaque point donc si on prend le complémentaire il est ouvert et la droite A et B est fermé :briques:

par **alben** » 20 Oct 2007, 16:43

Bonjour
pas facile de comprendre ce que tu n'as pas compris.
Dans l'exemple de ThSQ, tu est d'accord pour dire que l'hyperbole est fermée dans R², que la droite B est également fermée ?
L'ensemble A+B sera l'ensemble des points qui s'écrivent (xa,ya)+(xb,yb)
où (xa,ya)A et (xb,yb)B. Par définition un point de B vérifie yb=0 et tous les x sont possibles.
Si l'on prend un (x,y) avec y non nul quelconque
(x,y)=(a/y,y)+(x-a/y,0) qui est bien dans A+B.
Si y=0, on ne peux pas trouver de point dans A+B.
Donc le complémentaire de A+B c'est la droite B dont tu as admis qu'elle est fermée. Donc A+B est ouvert

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 18:07

Je ne comprend pas très bien pourquoi l'hyperbole est fermée dans R², que la droite B est également fermée ?
Sinon le reste je crois que j'ai compris maintenant

par **sandrine_guillerme** » 20 Oct 2007, 18:10

minidiane a écrit:Je ne comprend pas très bien pourquoi l'hyperbole est fermée dans R²,

Salut
Je n'ai pas tout lu, mais il y a beaucoup de méthode pour le montrer ..

la plus rapide c'est surement de dire que c'est Homéomorphe à R* (Normal! il suffit de tirer des deux côtés des axes)..
sinon tu écris l'équation de l'hyperbole ( y =1/x qui donne xy = 1 et utilise l'image réciproque f^1 (1 ) et puisque les points sont drmés de R^n ..

l'yperbole est donc fermé dans R^2 ..

par **alben** » 20 Oct 2007, 18:17

Tu peux le montrer simplement en prenant les fonctions de R² dans R
f: (x,y)->x.y et g: (x,y)->y qui sont continues et nos courbes sont les images réciproques de points (a pour f et 0 pour g). Un point étant un fermé, son image réciproque par une fonction continue....
Sinon il faut montrer que tout point appartenant à l'adhérence de la courbe est sur la courbe.
He he grillé par Sandrine, de retour... :id:

par **sandrine_guillerme** » 20 Oct 2007, 18:20

alben a écrit:He he grillé par Sandrine, de retour... :id:

Contente de te voir ici alben ! :we:

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 18:28

ok merci je pense que j'ai compris maintenant, ah non encore une question il n'y a pas d'erreur dans (x,y)=(a/y,y)+(x-a/y,0) ?

par **sandrine_guillerme** » 20 Oct 2007, 18:30

minidiane a écrit:ok merci je pense que j'ai compris maintenant, ah non encore une question il n'y a pas d'erreur dans (x,y)=(a/y,y)+(x-a/y,0) ?

Bah non ..

par **minidiane** » 20 Oct 2007, 18:32

ok alors j'ai pas bien compris pourquoi on a pris x-a/y

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