Topologie !

par **barbu23** » 25 Juil 2007, 13:01

Bonjour:
Théorème:
L'ensemble des points d'accumulation d'une suite

est égale à :

Démonstration:
Soit :

un point d'accumulation de

.
Posons :

.
Soit

.
Montrons que:

est dans l'adhérence de

.
Soit:

et

:
Supposons que:

.
Posons:

,

.
Alors:

est un voisinage de

qui n'intersecte pas

. Donc

est un point d'accumulation de

, ce qui est absurde par hypothèse.
Donc:

. Et comme

est quelconque,

est dans l'adhérence de

. De plus, comme

est aussi quelconque dans

:

.
Montrons maintenant que si:

alors

est un point d'accumulation de

.
Soit donc

un voisinage de

, On a en particulier:

, ce qui prouve immediatement la propriété voulue.
Question:
Pourriez vous m'expliquez les passages en rouge dans la démonstration, et merçi d'avance !!

par **Alexandre le Grand** » 25 Juil 2007, 13:30

Bonjour,

Si je ne m'abuse, l'intersection de

et

est vide tout simplement du fait de la valeur prise pour r' et de ce que l'on sait de Vn.

par **barbu23** » 25 Juil 2007, 16:07

Ah maintenant je comprends :
On a supposé, au départ, que:

, et puisque :

alors:

.

.
Maintenant il reste à montrer que :

.
c'est à dire qu'il faut montrer que :

:

...
Supposons que :

.

. ce qui est absurde.
Par conséquent:

:

D'où:

.

par **barbu23** » 26 Juil 2007, 14:16

Bonjour:
Quant on applique la compacité à une partie

de l'espace topologique

, est ce que le recouvrement d'ouverts qu'on effectue sur la partie

est un recouvrement d'ouverts de la topologie de

ou bien de la topologie induite de

sur

... C'est à dire, est ce qu'on recouvre

, par des ouverts de

ou bien des ouverts de

... et pourquoi ?
Dans, le cours,

est un sous espace compact de

si et seulement si pour toute famille

d'ouverts de

telle que :

, il existe

de cardinal fini tel que :

.
Voiçi sa démostration où on a utilisé les ouverts de la topologie induite de

sur

:
Si :

est une famille d'ouverts de

, alors

est une famille d'ouverts de

pour la topologie induite de

sur

.
Si

est compact, tel que:

, alors :

et :

est un recouvrement d'ouverts de

, on peut extraire un sous recouvrement fini de

, et on aura necessairement :

.
Pour la réciproque , on a pas besoin de la citer ici, parceque c'est inutile !
et merçi d'avance !!!

par **quinto** » 26 Juil 2007, 18:44

barbu23 a écrit:Bonjour:
Quant on applique la compacité à une partie de l'espace topologique , est ce que le recouvrement d'ouverts qu'on effectue sur la partie est un recouvrement d'ouverts de la topologie de ou bien de la topologie induite de sur ... C'est à dire, est ce qu'on recouvre , par des ouverts de ou bien des ouverts de ... et pourquoi ?

Ca ne change rien puisque justement tu utilises la topologie induite.

par **barbu23** » 26 Juil 2007, 19:54

Bonsoir:
D'acord quinto merçi !
Une autre question si vous permettez !
Pourriez vous me donner la démonstration de la propriété suivante:
l'image d'un compact par une application continue est un compact.
et merçi d'avance !!

par **barbu23** » 26 Juil 2007, 20:01

Soient

et

deux espaces topologiques quelconques.
Soit:

:

une application continue.
Soit:

un compact de

.
On cherche à montrer que

est compact !
Pourriez vous continuer à ma place, quelle famille d'ouverts recouvrant

choisir, est ce que celle des ouverts de la topologie de

ou bien celle de la topologie induite de

sur

. Je ne sais pas quant est ce que utiliser l'une et quant est ce que utiliser l'autre, pourriez vous m'eclairer sur ce point là ..?
et merçi d'avance !!!

par **aviateurpilot** » 26 Juil 2007, 20:18

puisque j'ai pas bcp de connaisances en topologie,(je vais les voir l'année prochaine)
je vais admetre klk proprieté des fonction continue, sil sont vrai alors ma demo est vrai ok,
1) l'anticedent d'un ouvert par f est un ouvert,
2) un compact c'est un espace qui verifie: si on a pour tout union des ouverts qui recouvre K on peux extraire une famille fini qui le recouvre alors K est compact.

voila ma demo donc:
soit

une famille d'ouvert qui recouvre f(K).
alors

une famille d'ouvert qui recouvre K.
on peux donc exraire une famille finie des

qui recouvre K (car K compact). l'image de cet famille ne donnera une famille finie des

qui recouvre f(K). d'ou f(K) compact

par **barbu23** » 26 Juil 2007, 20:27

oui mais aviateurpilot, cette famille d'ouverts dont tu parles et qui recouvre

, est ce qu'elle est composée d'ouverts de

pour la topologie induite, c'est à dire cette famille d'ouverts est composée d'ouverts s'ecrivant comme ça,

avec :

: ouvert de

pour :

... ou bien la famille d'ouverts recouvrant

est celle composée d'ouverts de

directement !!
Merçi en tous cas !!

par **barbu23** » 26 Juil 2007, 20:31

désolé, il y'a une petite erreur dans mon dernier message, je voulais ecrire

au lieu de :

.

par **barbu23** » 27 Juil 2007, 01:19

Aidez moi svp !

par **nuage** » 27 Juil 2007, 08:44

barbu23 a écrit:oui mais aviateurpilot, cette famille d'ouverts dont tu parles et qui recouvre , est ce qu'elle est composée d'ouverts de pour la topologie induite, c'est à dire cette famille d'ouverts est composée d'ouverts s'ecrivant comme ça, avec : : ouvert de pour : ... ou bien la famille d'ouverts recouvrant est celle composée d'ouverts de directement !!

Il me semble que la démonstration est la même dans les deux cas. Simplement si on veut utiliser la topologie induite sur K il me semble prudent (mais peut-être pas obligatoire) de considérer la restriction de f à K.

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