Topologie

[road runner]

bonsoir a tous et a toutes
j'ai quelque propriete des éspaces topologique a demontrer ,j'en ai fait une dizaine mais je ne comprend pas les suivantes :
1)
2)

mais aussi
3)
4) et enfin de montrer que si Xest séparé alors A' est fermé
un peu d'aide pour chacune me serait d'un grand secours
merci d'avance

[Blueberry]

Bonjour que signifie A ' ?

[tize]

Bonjour que signifie A ' ?

L'intérieur ?

[road runner]

on l'appelle ensemble derivé et c'est l'ensemble des points d'accumulations de A

[tize]

on l'appelle ensemble derivé et c'est l'ensemble des points d'accumulations de A

Merci,
ce sont des espaces métriques ou topologiques quelconque ?

[road runner]

c'est dans le cadre des espaces topologique quelconque

[tize]

1)Soit donc qui est un voisinage de .
Soit un voisinage de , on a :
en remarquant que est un voisinage de et que on a donc par définition : et donc pour tout voisinage de ce qui veut bien dire que pour tout
et donc :
Les autres doivent se traiter plus ou moins de ma même manière...

[road runner]

ok pour celle la ;une autre idée pour les autres
merci d'avance

[tize]

Bonjour,
pour la 2) c'est faux !!! (erreur d'énoncé ?)
Contre-exemple : A=[0;1] et B=]1;2]. Sauf erreur de ma part :

[Blueberry]

Je connais cette propriété (la 2)) avec A ouvert et B quelconque

alors

[road runner]

excusez moi j'avai oublié de mensionner que A est ouvert et bquelconque dans la 2)

[Blueberry]

Bonjour donc :

soit et soit V un voisinage de a.

est encore un voisinage de a puisque A est ouvert.

Mais puisque il existe donc un élément b de B qui est dans donc V contient un élément donc

[tize]

Bonsoir,
3) Si alors et pour tout voisinage de , , or donc et on a alors : .
Réciproquement (et par contraposée) si alors et il existe voisinage de tel que et de même il existe tel que et donc donc et .

[tize]

4) Si alors pour tout voisinage de , on a : or et donc et

5) Montrons que si est séparé alors est ouvert :
Soit , il existe alors voisinage de tel que .
contient un ouvert et pour tout il existe deux ouverts et qui séparent et donc et donc donc pour tout ouvert contenant et est ouvert d'ou fermé.