Topologie

[Melonia]

Bonsoir ,
Il m'a été donné cet exercice en devoir maison mais je n'ai pas eu beaucoup d'explications sur les différentes notions à traités, voilà l’exercice:
Représenter géométriquement les ensembles suivants (préciser si les frontières sont inclues ou
non). Dire s'ils sont ouverts, fermés, bornés, compacts ou convexe. On justifera leurs propriétés par des
preuves graphiques ou par les propriétés du cours.
(a) E1 = {(x, y) ∈ R2| − 1 ≤ x ≤ 3, 0 < y < 2}
(b) E2 = {(x, y) ∈ R2|y − 1 ≥ −x2}
(c) E3 = {(x, y) ∈R2|x2 + y2 − 4x + 2y + 1 > 0}
(d) E4 = {(x, y) ∈ R|x2 + y2 − 2x + 2y ≤ 2, x ≥ 1}
(e) E5 = {(x, y) ∈ R2|1 > x − y}

J'ai pour E1 supposé que l'ensemble n'était ni fermé ni ouvert dans R2 en observant les signes ≤ et <, j'ai également réussi à le tracer graphiquement cependant malgré mes recherches je n'ai pas su saisir les autres choses qui m'étaient demander.
Merci d'avance <3

[L.A.]

Bonjour,

il faut commencer par tracer les courbes qui vont former les frontières des domaines qu'on te propose.
Tu obtiens leurs équations en remplaçant les inégalités strictes ou larges par des égalités.
Pour le cas n°2 par exemple il s'agit d'une parabole d'équation y-1 = x².
Ensuite tu peux colorier tranquillement les zones et les frontières qui font partie de ton ensemble.

Grosso modo, un ouvert ne contient aucune de ses frontières, un fermé les contient toutes, un compact est fermé et borné, et un convexe n'a pas de trou ou de creux. On a aussi que l'intersections de plusieurs ouverts (fermés, convexes) est un ouvert (un fermé, un convexe).