Topologie

[Obito31]

Bonjour a tous,
Je regarder un article sur la topologie et je n est pas compris un passage
"Quand on aborde des problemes de convergence, on s’apercoit assez vite que la notion de distance ou de norme est trop restrictive. Par exemple si on prend la suite de fonctions fn(x) = (x/n)^n sur R on a bien envie de dire qu’elle converge vers 0 puisqu’en tout point de R ou sur toute region bornee de R cette convergence est vérifiée . Cependant il n’y a pas de distance evidente que l’on peut mettre pour exprimer cette convergence : L’´ecart, mesuré globalement sur la droite reelle, entre deux termes de la suite est toujours infini."

Ques que veut dire qu'il n'y a pas de distance évidente ? Et que l'écart entre 2 termes de la suite est toujours infini ?
Cela veut t- il dire que la fonction converge simplement mais pas uniformément ?

[zygomatique]

salut

la suite (f_n) de de fonction converge simplement vers la fonction nulle (que je note f) ::

mais

et pour m > 1 il suffit de prendre x = mn

et surtout

se rappeler que toute suite convergente est de Cauchy ...

[mathelot]

la topologie adéquate est la topologie de convergence uniforme sur tout compact.est elle métrisable?

[Obito31]

Merci pour vos réponses

Le souci c'est que je ne comprend pas ou est le problème.. C'est quoi qui pose problème avec cette exemple ? Quand ils disent il n y a pas de distance évidente, ques que sa veut dire ? Et pourquoi la topologie vien au secours ?
Et j'aurait aussi une question sur la topologie c'est quoi en fait ?
Parce que bon a par que c'est un ensemble et un ensemble de partie de cette ensemble qui vérifie des propriété je ne voit pas à quoi sa sert.. en cour ils nous balance les ouvert les fermé etc etc sans même nous expliquer ques que vraiment une topologie..

J'en demande peut être beaucoup mais se serai vraiment super si vous pourriez meclairssir un peu

[aviateur]

Bonjour
C'est normal que tu te poses des questions sur le "à quoi cela sert?" Souvent on comprend a posteriori à quoi servent les notions. Mais tu peux déjà t'amuser à manipuler les notions d'ouverts, de fermés, ... ne serait ce que par le plaisir du raisonnement.

Maintenant si tu veux déjà avoir une idée, va voir Wikipedia Topologie...

[pascal16]

fait à l'arrache
fn(x) =x^n sur [0,1]



fn(x) =x^n sur [0,1] ne converge pas uniformément sur [0;1] (dessin B, perte de continuité)

mais son dessin se rapproche d'un L renversé. C'est en fait la convergence de la courbe paramétrée (dessin C, continuité respecté mais dérivabilité perdue).

Conclusion, une fonction et son dessin sont deux chose. Un dessin peut être définies par différents types de fonctions qui ont des utilisation différentes et donc des notions de convergence différentes

[Ben314]

La topologie (générale), c'est le contexte mathématique le plus vaste qui permet de donner du sens au concept intuitif de "être proche de" c'est à dire en fait aux concepts mathématiques de limite (de suite ou de fonction) et surtout de continuité.

Le premier truc qui vient à l'esprit pour modéliser mathématiquement une notion de "être proche de", c'est évidement le concept de distance. Si on a sur un ensemble E un moyen de mesurer la "distance" entre deux éléments de E, il en découle immédiatement une notion "d'éléments proches" (=la distance entre les deux est petite) et on peut alors dégager les notions de limite et de continuité (en reprenant les définition usuelles sur R et en remplaçant les |x-y| par des d(x,y)). Ensuite, pour que tout marche correctement (par exemple que la composée de fonctions continue soient continues), ben il suffit de regarder comment on a fait la preuve dans le cas des fonctions de R dans R et on en déduit la liste des propriétés que doit vérifier la distance d pour que "tout marche pareil" (et évidement, ces propriétés pour que "tout marche pareil, ben c'est ça qu'on prend comme axiome d'une distance)

Ensuite, après avoir beaucoup joué avec cet outil merveilleux que sont les espaces métriques, ben on se rend compte qu'il y a des situations (comme celle que tu cite) où on a une certaine notion "naïve" de "être proche" (ou si tu préfère et pour parler plus comme un matheux une notion "naïve" de limite) mais où on ne voit pas trop comment définir la notion de distance entre deux objets. Et là, la question qui se pose est de savoir si on peut définir les notions de limites (et donc de continuité) sans utiliser de notion de distance entre deux éléments de l'ensemble E donc il faut essayer de réécrire toutes les définition sans utiliser réellement les distances.
Et si on a bien compris comment ça fonctionne dans les espaces métriques, on se rend compte que ce n'est pas vraiment la notion de distance qui est "centrale", mais plutôt celle de boule : par exemple dire qu'une suite Un tend vers L (dans un espace métrique), ça signifie que quelque soit la boule ouverte centré en L, tout les termes de la suite sont dans la boule à partir d'un certain rang. Et on peut évidement écrire la même chose en disant que, quelque soit la partie A de E contenant une boule ouverte centré en L, tout les termes de la suite seront dans A à partir d'un certain rang. Bref, on pourrait tout définir sans faire référence à la notion de distance à condition qu'on nous donne au départ la liste des ensemble A de E tels que, pour tout L de A, A contient une boule ouverte centré en A. Par exemple, la définition de limite deviendrait : Un tend vers L ssi toute partie A "de la liste" qui contient L contient forcément tout les Un à partir d'un certain rang.
Ensuite, rebelotte, on écrit les nouvelles définitions en remplaçant les distances par des références à cette "liste d'ensembles A" et on regarde quelles sont les hypothèses qu'il faut mettre sur cette "liste d'ensemble A" pour qu'à peu près toutes les preuves qui marchaient dans le cas des espaces métrique continuent à marcher dans ce nouveau contexte plus large.
Et on obtient quoi ? Ben les axiomes des ouverts dans un espace topologique pardi !!!
(plus l'axiome T_2 de séparation, mais bon, faut reconnaitre que les espaces topologique non séparé, ça commence à être pas mal différent de "ce qu'on aimerais qui se passe")

[Obito31]

Salut ben et merci pour ta réponse j'y vois beaucoup plus clair !
Mais quelque chose me chiffonne tu dit :  "Un tend vers L ssi toute partie A "de la liste" qui contient L contient forcément tout les Un à partir d'un certain rang"
Je comprend gauche implique droite mais pas la reciproque
Pourquoi si toute partie qui contient L et qui contient tout les Un a partir d'un certain rang converge vers L ?
Et aussi concernant le faite qu'on est plus besoin d'une distance mais le concept de boule utilise la distance..
Comment on peut trouver des espace topologique non méprisable sachant que pour définir une boule ils nous faut la notion de distances ?

[Ben314]

Déjà, les parties "de la liste", en fait c'est ce qu'on appelle les parties ouvertes.
Dans le cadre des espaces métriques, les ouverts sont définis comme étant les parties A t.q. pour tout L de A il existe une boule ouverte centrée en L contenue dans A. Par contre, dans le cadre de la topologie générale, les ouverts, sont une donnée de base, c'est à dire qu'ils sont donnés dans la définition de l'espace topologique et tout ce qu'on sait c'est qu'ils vérifient certaines propriétés appelés "axiomes des ouverts" (par exemple toute réunion d'ouverts est ouverts)

Pourquoi si toute partie qui contient L et qui contient tout les Un a partir d'un certain rang converge vers L ?

Ben déjà, le problème, c'est que c'est pas du tout ça que j'ai écrit.... (*)
Ce que j'ai écrit, c'est qu'une suite Un converge vers L ssi toute les partie "de la liste" (c'est à dire toute partie ouverte) qui contiennent L contiennent aussi tout les Un à partir d'un certain rang : donc c'est pas un "et" mais un "implique" (Si A est ouvert et contient L alors A contient tout les Un à partir d'un certain rang).
Et l'implication, elle provient du fait que, dans un espace métrique, une boule ouverte centré en L, c'est un (cas particulier de) ouvert contenant L donc si tout ouvert contenant L contient tout les Un à partir d'un certain rang, alors en particulier toute boule ouverte centré en L contient tout les Un à partir d'un certain rang. Et ça, c'est exactement la définition de limite dans un espace métrique.

Et aussi concernant le faite qu'on est plus besoin d'une distance mais le concept de boule utilise la distance...

Quand tu est dans un espace topo général, la def. de limite (c.f. çi dessus), elle n'utilise que la notion d'ouverts et pas la notion de boules donc y'a plus besoin de notion de distance, mais par contre, il faut qu'au départ on nous donne la liste de ce que sont les ouverts.
C'est totalement exactement la même chose qu'entre les e.v.n. et les espaces métriques : si tu est dans un e.v.n. (donc au départ on t'a donné une norme) alors tu peut définir à l'aide de la norme une notion de distance en posant d(x,y)=||x-y|| et ça signifie que tout e.v.n. peut être vu comme un cas particulier d'espace métrique. Mais par contre, on peut tout à fait te donner directement une distance d sur un ensemble E (qui d'ailleurs n'est pas forcément un e.v.) et dans ce cas, ben tu aura pas de norme.
Pour le passage espace métrique -> topo générale, c'est pareil : si tu es dans un espace métrique, tu peut définir les ouverts comme étant les ensembles qui contiennent une boule ouverte autours de tout leurs points. Mais tu peut aussi avoir un espace topologique plus général où on te donne au départ une collection d'ensemble qui sont par définition les ouverts de ton espace topologique. Et bien sûr, dans ce dernier cas, ça a pas de sens de se demander si les ouverts contiennent des "boules" vu que la notion de boule n'existe pas.