Topologie - Z*Q

[Livounet]

Bonsoir (ou bonjour !)

J'ai un petit problème en topologie ; j'ai un petit peu de mal à assimiler les notions d'ouverts/fermés et d'intérieur/adhérence, si bien que je bloque sur un exo qui semble élémentaire tant l'énoncé est court :


Pour chacune des parties suivantes de , dire si elle est ouverte ou fermée et déterminer son intérieur et son adhérence.
(Donc vous imaginez, il y a pas mal de parties)
Pas d'intérêt à les mettre toutes ici je pense, car ça doit être à chaque fois la même idée.

Ainsi, si vous pouviez simplement m'aider pour celle-ci :
(Je vous avais dit, ça n'a pas l'air bien méchant !)


Moi j'ai commencé par dire que l'ensemble n'était pas ouvert puisque :

, la boule centrée en n'est pas inclue dans (car elle contient un élément abscisse non entier).
L'intérieur est donc vide.

Déjà, bien que je ne vois pas trop quoi ajouter, je ne sais pas si ma justification est vraiment rigoureuse..?


Ensuite, pour montrer si l'ensemble est un fermé ou non, je ne sais pas trop comment m'y prendre.

Je sais qu'un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert.
D'intuition (et avec un petit dessin trop cool), j'ai bien envie de dire que l'ensemble n'est pas fermé car le complémentaire de est l'ensemble des nombres irrationnels, et qu'entre deux nombres irrationnels il y a forcément un nombre rationnel.
Donc dans la boule centrée en , on trouvera forcément un élément de (et donc le complémentaire n'est pas ouvert, et donc, l'ensemble n'est pas fermé).

Seulement voilà, en supposant que mon intuition soit bonne, je ne la trouve bien que pour illustrer l'idée (comme une intuition quoi). J'aimerais donc une méthode un peu plus rigoureuse...
Par exemple, en farfouillant sur le net, j'ai vu que l'on pouvait utiliser des suites, mais je n'ai pas vraiment compris comment aller au bout avec.


D'avance, désolé, je sais que j'ai tendance à écrire un peu trop de trucs triviaux ce qui rend la lecture parfois pénible, mais j'essaie vraiment de synthétiser au maximum !
Merci d'avance pour toute aide que vous pourriez m'apporter !

[zygomatique]

salut

Q n'est ni ouvert ni fermé dans R ... donc il en est de même de Z x Q dans R² ...

[samoufar]

Bonsoir,

Je sais qu'un ensemble est fermé si son complémentaire est ouvert.

Neuf fois sur dix on ne procède pas comme ça pour montrer la fermeture d'un ensemble. On utilise plutôt la caractérisation séquentielle de la fermeture (un ensemble F est fermé (dans E par exemple) si et seulement si toute suite convergente d'éléments de F converge dans F (au sens de la norme/distance sur E)).

Néanmoins, comme l'a dit zygomatique, il suffit de montrer que Q n'est ni ouvert ni fermé dans R pour conclure : Il n'est pas n'est pas ouvert car, comme tu l'as dit, Q est d'intérieur vide (donc non égal à son intérieur). Pour montrer qu'il n'est pas fermé, utilise plutôt un argument de densité, c'est plus rapide.

[Ben314]

Salut,

Donc dans la boule centrée en , on trouvera forcément un élément de (et donc le complémentaire n'est pas ouvert, et donc, l'ensemble n'est pas fermé).

Autant au niveau intuition, c'est tout bon, autant concernant la rédaction, çà ne va pas trop :
Ton Laïus (çi dessus) donne l'impression que, si on prend un (x,y) quelconque qui n'est pas dans ZxQ alors toute boule centrée en (x,y) rencontrera ZxQ or c'est clairement faux : la boule de rayon 1/2 centrée en (1/2 ; 0) ne contient aucun éléments de ZxQ.
Ce qui est vrai, c'est que, pour certains (x,y) qui ne sont pas dans ZxQ (mais pas tous), toutes les boules centrées en (x,y) vont rencontrer ZxQ. C'est en particulier relativement clair pour les (x,y) tels que x soit entier et y irrationnel.
Et ce qu'il faut voir, c'est que c'est suffisant pour en déduire que le complémentaire de ZxQ n'est pas ouvert (la négation d'un "quelque soit" c'est un "il existe").

Sinon, dans des cas "simples" comme ici, un truc souvent assez élémentaire pour montrer qu'une partie A d'un espace topo. X n'est pas fermé, c'est d'exhiber une suite d'éléments de A qui converge (dans X) vers un élément qui n'est pas dans A.

Et concernant "l'indication" de zigomatique, j'aurais tendance à dire "bof bof" : si tu regarde le temps qu'il faut pour montrer que ton truc n'est pas fermé par rapport au temps qu'il te faut pour montrer que, si A n'est pas fermé dans X alors AxB ne peut pas être fermé dans XxX, je suis pas sûr que ce soit bien une avance de commencer par démontrer ce lemme (d'autant plus que la preuve du lemme en question, ça va être à peu prés la même chose que la preuve du cas particulier de ton exercice).
Enfin, bref, à toi de voir si tu pense que ça vaut le coup de démontrer un truc plus général que ce dont tu as besoin...

[zygomatique]

oui ça dépend de ce que l'on sait au départ ...

peut-être est-il au tout début de l'étude des topologies produit et c'est l'objectif de l'exercice : un cas "concret" avant une théorisation ...

j'a failli lui proposé la caractérisation séquentielle ...

[Livounet]

Doux jésus, vous êtes bien trop rapide à répondre ! Merci à vous !

Alors déjà, concernant l'indication de Zigomatique, dans le cas de mon exercice je ne pense pas que la généralisation vaille le coup puisque le but (je pense) c'est vraiment de manipuler des cas simples, quitte à enfoncer des portes ouvertes, pour être parfaitement à l'aise avec les notions. Cependant l'observation reste enrichissante puisque je n'avais pas du tout envisager de voir ça comme ça (alors que c'était sous mon nez) ; donc merci à toi !

A propos de mon petit schmilblik de rédaction, effectivement, je suis allé un petit peu vite quant au quelque soit/il existe et leur négation ; sûrement que si j'avais un petit peu plus pris le temps de rédiger mon intuition, je n'aurais pas eu de doute du tout du coup. Merci pour la précision qui m'a convaincu du coup !

Par contre, il y a un point sur lequel j'aimerais vraiment insister et que justement, Ben314 et samoufar ont évoqué : les suites !
J'ai pas mal googlisé (du verbe googliser) pour en savoir plus sur cette histoire de "un ensemble F est fermé dans E <=> toute suite convergente d'éléments de F converge dans F" et je me suis d'ailleurs rendu compte que c'est la dernière chose écrite dans mon cours .

Du coup, dans mon petit exercice, il suffit (comme tu me l'as dit, Ben314), de trouver une suite d'éléments de qui converge vers un élément qui n'appartient pas à . Autrement dit (en résumant grossièrement), il me suffit de trouver une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel ; ainsi je pourrais dire que (par exemple) ne converge pas vers un élément de . Pas de soucis en sortant la suite de la méthode de Héron.

MAIS, MAIS MAIS MAIS
(Accrochez vous, c'est à peu près à ce niveau là que j'exaspère mes profs depuis le lycée)

C'est un peu bête à dire, mais en général je n'ai pas du tout le feeling pour trouver des suites qui marchent (là c'est un cas que je connais un peu donc ça compte pas). Du coup, j'aimerais enfoncer les portes.

Est-ce faisable de généraliser l'idée ?
Voici ce à quoi j'avais pensé :
Soit qui converge vers .
Alors par définition de la limite, .
Et donc, à partir de là... Je sais pas trop vers quoi partir . J'aimerais montrer que mais je vois pas trop comment.

Votre avis ? Est-ce que je me prends vraiment la tête pour rien ? Si non, est ce que je pars dans une bonne option (auquel cas, pouvez-vous me donner un coup de pouce ?)

[samoufar]

Tu pourrais plus simplement utiliser la densité de dans . Ainsi tu aurais automatiquement une suite de rationnels qui converge vers irrationnel. Et comme pour la suite "de Héron", tu pourrais considérer la suite qui converge vers .

D'autre part, attention à ton raisonnement. Là tu n'essaies pas de prouver la négation de la caractérisation séquentielle de la fermeture. Tu es en train d'essayer de prouver que toute suite convergente de l'ensemble converge hors de cet ensemble, ce qui n'est possible que si cet ensemble est vide (autrement toute suite constante fournit un contre-exemple immédiat).

[Ben314]

De nouveau, il y a une "erreur de quantificateurs" : avec les hypothèses dont tu es parti, tu n'arrivera pas à montrer que vu que ce n'est pas vrai en général :
Pour qu'une partie A de X soit fermée, il faut (et il suffit) que, quelque soit la suite d'éléments de A qui converge dans X, la limite soit aussi dans A.
Donc pour que A ne soit pas fermée, il faut (et il suffit) qu'il existe une suite d'éléments de A qui converge dans X vers un élément qui n'est pas dans A.
Mais, évidement, si tu prend une suite quelconque d'élément de A qui converge vers un certain l de X, il n'y a aucune raison que justement cette suite là soit telle que la limite n'est pas dans A.
Par exemple, que A soit fermé ou pas, il est bien évident qu'une suite constante d'éléments de A converge forcément vers un élément de A.
En fait, il te suffit de réfléchir à ce qui se passe dans le cas des rationnels : si tu prend une suite de rationnels qui converge vers un réel L, alors il est possible que L ne soit pas rationnel, mais il est évidement aussi possible que L soit rationnel : par exemple la suite de rationnels 1/n converge vers le rationnel 0....

Bref, le fait que Q n'est pas fermé dans R, ça signifie qu'il existe une suite de rationnels qui converge vers un non rationnel, et surement pas que toutes les suites de rationnels convergent vers des non rationnels. Donc pour montrer que Q n'est pas fermé dans R, ça n'a pas trop de sens de commencer par "soit Un une suite quelconque de rationnels convergeant vers L dans R"