Salut,
Eh ben, il m'aura bien fallu 5 bonnes minutes pour comprendre l'énoncé....
Donc avant de regarder ce que tu as fait, quelques remarques :
- L'ensemble des entiers naturels, en MimeTeX, ça se code {\mathbb N} ->
(là, c'est pas super grave : vu le contexte, on peut quand même comprendre)
- L'ensemble vide, en MimeTeX, ça se code \emptyset ->
et pas \phi ->
(là, déjà, il m'a fallu un sacré moment pour comprendre)
- Lorsque l'on décrit un ensemble sous la forme {... : ...} le ":" au milieu, ça se lit (et ça signifie) "tel que" comme par exemple dans
pour décrire l'ensemble des entiers pairs. Lorsque l'on décrit des ensembles "en extension", c'est à dire en donnant la liste des éléments, on met des virgules (ou des point virgule) entre les éléments (idem, là il m'a fallu un bon moment pour comprendre la notation)
- Lorsque tu parle de ce que tu as déjà démontré, par exemple concernant l'ensemble
ça serait pas con de préciser ce que tu entend par "troisième condition" vu qu'on peut pas vraiment dire qu'il y ait un quelconque "standard" concernant l'ordre dans lequel on range les axiomes, ni même concernant leur nombre.
Sinon, concernant tes réponses,
- Soit j'ai rien compris à tes notations (voir laïus ci dessus), soit ce que tu affirme concernant
, à savoir qu'il ne contient pas
est en contradiction flagrante avec la définition donnée qui dit que
est l'ensemble constitué de l'ensemble vide, de
et de toutes les parties finies.
- Concernant le 2) et la "comparaison" des topologies, il n'est nul besoin de connaitre une quelconque propriété concernant les "comparaisons de topologie", mais uniquement de connaitre la définition. Et encore, même sans connaitre la définition, on peut répondre à la question en employant le terme générique dédié à la comparaison d'ensemble, c'est à dire le terme "inclus" et pas celui spécifiquement dédié à la topologie "plus fine" (sauf que le but de cette partie là de l'exo. c'est justement d'obliger l'étudiant à aller chercher dans son cours pour y trouver que, "comparer" des topologie, ça s'exprime en terme de "plus fine que")
- Concernant le 3), effectivement (et de nouveau), la définition donnée de
, c'est quand même pas mal du charabia. Énoncé correctement, j'aurais bien dit que
, c'était l'ensemble contenant l'ensemble vide ainsi que toutes les parties A de X qui sont finies et qui contiennent l'élément a. Sauf que, si X est infini, c'est pas une topologie (ou alors
c'est l'ensemble des fermés et pas l'ensemble des ouverts de la topologie)
