Topologie

[kurenay]

Bonjour,

Soit E un espace normé non réduit à zéro, et . Soit
1) Démontrer que T est ouvert dans E
2) Démontrer que l’adhérence de T est E

[zygomatique]

salut

soit f l'application linéaire f : x --> x - a

f est continue et T est le complémentaire de l'image réciproque de {0}

...

EDIT : oui f n'est pas linéaire ...

[lionel52]

( f : x --> x - a n'est pas linéaire)

Sinon y a plus naturel :
le complémentaire de T est {a} qui est un fermé donc T est ouvert.
En effet soit une suite convergente (an) de points de {a} ben an = a pour tout n donc an -> a qui est dans {a}.

Et directement : Soit x € T, alors la boule de centre x de rayon ||x-a||/2 est comprise dans T donc T est ouvert

[kurenay]

@Zygomatique : Je n'ai pas compris ou est-ce que vous voulez en venir. Et puis, nous n'avons jamais abordé la continuité avec ce type d'exercice en cours donc je ne pense pas que le prof attendra qu'on justifie cela comme ça

@Lionel52: Si j'ai bien compris, vous avez pris une suite qui appartient au complémentaire de T ,qui est fermé, et vous avez montré que sa limite est dans le complémentaire de T donc que T est ouvert.
Par contre celui de la boule je n'ai pas bien compris, pourquoi peut-on dire que B(x,||x-a||/2 ) est inclue dans T ?

[zygomatique]

oui j'ai failli le dire "au naturel" comme lionel52 ...

[kurenay]

Pour la question 2) , il est mieux de raisonner avec les suites ou bien les boules? J'ai essayé les deux méthodes mais je n'arrive pas à aboutir.

[zygomatique]

la suite de vecteurs (1 + 1/n)a est dans T et converge vers a ....

[kurenay]

la suite de vecteurs (1 + 1/n)a est dans T et converge vers a ....

Qu'est ce ça prouve ?

[zygomatique]

soit x un vecteur qui n'est pas dans T (donc x = a)

la suite de vecteurs (1 + 1/n)x est dans T ((1 + 1/n)x <> x ) et converge vers x

donc T est dense dans E

...

[kurenay]

D'accord donc Adh(T)=E . Merci beaucoup pour votre aide !