Topologie

[Ncdk]

Bonjour,

J'avais une question :

Je sais qu'une réunion d'ouvert est un ouvert, mais est-ce qu'on peut dire : Une réunion INFINIE d'ouvert est un finie ?

Je me suis dis si c'est pas précisé que c'est FINIE dans la propriété c'est que c'est obligatoirement INFINIE.

[BiancoAngelo]

Bonjour,

J'avais une question :

Je sais qu'une réunion d'ouvert est un ouvert, mais est-ce qu'on peut dire : Une réunion INFINIE d'ouvert est un finie ?

Je me suis dis si c'est pas précisé que c'est FINIE dans la propriété c'est que c'est obligatoirement INFINIE.

Bonsoir,

Si tu prends une suite d'ouverts tous identiques et finis,... leur réunion infinie est bien finie, non ?

D'ailleurs, quand rien n'est précisé, c'est qu'en général, tout est possible.

[Ncdk]

Tu aurais un exemple ? Que je puisse avoir une idée de : "suite d'ouverts tous identiques et finis"

[BiancoAngelo]

Tu aurais un exemple ? Que je puisse avoir une idée de : "suite d'ouverts tous identiques et finis"

Si on prend l'ensemble de départ {0;1}.
On le munit de la topologie discrète, à savoir l'ensemble de ses parties : VIDE, {0}, {1}, {0,1}.

Par définition de la topologie elle-même, ces 4 ensembles sont ouverts.

Soit .

Alors qui est un ouvert fini.

Sans quoi ici, tu peux faire une union infinie d'ouverts de cet ensemble, ça restera toujours fini !

Sinon, on peut faire encore mieux.

Soit E un ensemble fini.
On le munit de la topologie grossière qui est le VIDE et lui-même.

Une union infinie de ces 2 ouverts sera toujours... finie !

[Ncdk]

Ah d'accord, merci bien :zen:

[mathelot]

i) ne pas confondre l'ensemble d'indices (I) et la famille d'ouverts




ii) les ouverts eux, contiennent ,le plus souvent, une infinité de points
(sauf cas particulier de la topologie discrète, pour le p-adique, je ne sais pas)
car leurs éléments sont contenus dans des boules ouvertes (ils sont voisinage
de chacun de leur point, cf L.Schwartz)

exemple: ]1,2[ contient une infinité de rationnels.

[paquito]

Qu'est ce que tu entends par fini: un nombre d'éléments fini, ou si on se place dans R, un ouvert borné?


Ce qui est important, c'est que toute réunion d'ouvert soit un ouvert alors que l'intersection infinie d'ouvert peut être un fermé; exemple

, dont l'intersection pour n>0 est le fermé {0}.

[Ncdk]

En fait je voulais savoir si la propriété : Une réunion d'ouverts est un ouvert.

Quand je parle d'ouvert c'est un ensemble ouvert contenu dans une partie E quelconque.

Et je me suis demandé, est-ce que c'est une réunion infinie d'ouverts ou finie.

Pour un exemple, supposons {1/n avec n appartenant à N*}, si on passe au complémentaire, on a une réunion infinie d'ouvert, et c'est de la que je me suis demandé, comment je peux conclure, je connais la propriété mais je voulais savoir si c'était pour les cas ou on a une infinité d'ouvert ou si c'était seulement pour un nombre finie d'ouvert.

Pour moi j'ai du mal à comprendre en fait pourquoi c'est la réunion infini d'ouvert est un ouvert, si on peut m'expliquer par exemple avec des simples intervalles ça m'irait parfaitement.

Je débute la topologie donc j'ai un peu de mal avec certaines notions mais ça vient :)

[paquito]

La réunion quelconque d'ouverts est un ouvert, donc a fortiori la réunion finie d'ouverts est un ouvert:

exemple: e;

[Ncdk]

Je sais mais on peut dire aussi la réunion infinie d'ouvert et un ouvert, mais pourquoi :p ?

[BiancoAngelo]

En fait je voulais savoir si la propriété : Une réunion d'ouverts est un ouvert.

Quand je parle d'ouvert c'est un ensemble ouvert contenu dans une partie E quelconque.

Et je me suis demandé, est-ce que c'est une réunion infinie d'ouverts ou finie.

Salut !

En fait, là, c'est une autre question.
C'est une histoire de recouvrement. Tu te demandes si on recouvre un ensemble par des ouverts, est-ce qu'on est forcé d'en prendre une infinité ou un nombre fini, c'est ça ?
C'est fortement lié à la compacité de l'ensemble (selon la topologie choisie bien sûr).

La topologie est un sujet très vaste.

(Arrêtez moi si je dis des bêtises...)
La notion d'ouvert, tout dépend comment tu la considères.
Si on part de la base, d'un ensemble brut, on lui construit une topologie pour travailler dessus.
Pour la construire, on va construire des ouverts tels que leur union quelconque soit toujours un de ces ouverts, et leur intersection finie en reste une (ça reste un choix de construction).

Grâce à ça, on définit alors une topologie (il ne faut pas oublier le VIDE et l'espace tout entier).
Selon le choix de ta topologie, des ensembles peuvent être ouverts ou non.

Ce qui est plus simple, c'est quand on rattache ces définitions à des structures un peu plus riches, genre les espaces métriques.
Du coup, pour la définition d'un ouvert, vient la boule ouverte... très intuitive. Et là, tu pourrais t'amuser à démontrer que les unions (finies ou infinies) restent ouvertes...

Tout est question de définition, de savoir aussi surtout où on travaille, donc pour ce que tu as écrit en dessous :

Pour un exemple, supposons {1/n avec n appartenant à N*}, si on passe au complémentaire, on a une réunion infinie d'ouvert, et c'est de la que je me suis demandé, comment je peux conclure, je connais la propriété mais je voulais savoir si c'était pour les cas ou on a une infinité d'ouvert ou si c'était seulement pour un nombre finie d'ouvert.

Un complémentaire dans quel ensemble de départ ? Dans [0;1] ? Dans Q ? Dans R ?
Avec quelle topologie ?

Ce qui rend la topologie peut-être "difficile", c'est qu'on travaille avec du brut, donc il faut faire attention aux définitions de base et à chaque chose qu'on annonce...

Voilà, en espérant ne pas avoir sorti trop d'âneries :zen:

[paquito]

La topologie sur un ensemble E est définie par un système d'axiomes qui régissent des sous ensembles de E qui sont les ouverts de E:la réunion quelconque d'ouverts de E est un ouvert de E, l'intersection finie d'ouverts de E est un ouvert de E. Le complémentaire d'un ouvert est un fermé,enfin E et vide sont à la fois ouvert et fermé; après, on s'amuse!

[Ncdk]

Je vois de quoi tu parles ce que j'ai oublié de préciser sur mon exemple c'est qu'on se trouve dans R muni de la topologie usuelle donc la valeur absolue.

Ce qui prend un peu plus de sens, du fait que j'ai dis que l'ensemble des 1/n que j'ai dit avait pour complémentaire une union infinie d'intervalle.

[paquito]

Ton singleton a pour complémentaire qui est un ouvert; donc tu a la réunion d'un ouvert avec lui même!!

[Ncdk]

Ce n'est pas un singleton mais un ensemble : {1/n avec n appartenant à N*}