Topologie

[barbu23]

Bonsoir à tous, :happy3:

est muni de : la famille des parties verifiant :
ou bien et est fini.
Montrer que est une topologie sur .

On a : ,
Soient : :
Quelle sont les cas à traiter pour montrer que
Soient :
Quelles sont les cas à traiter pour montrer que : .

Merci pour votre aide. :happy3:

[Ben314]

Salut,
Dans les deux cas,
Soit 0 (zéro) appartient à l'ensemble considére (l'intersection ou la réunion) et il n'y a rien à démontrer : c'est forcément un ouvert pour T
Soit 0 n'appartient pas à l'ensemble et il faut regarder ce que cela signifie pour les ensembles en question.

[barbu23]

Salut,
Dans les deux cas,
Soit 0 (zéro) appartient à l'ensemble considére (l'intersection ou la réunion) et il n'y a rien à démontrer : c'est forcément un ouvert pour T
Soit 0 n'appartient pas à l'ensemble et il faut regarder ce que cela signifie pour les ensembles en question.

salut : :happy3:
oui mais par exemple pour avec
on dit si alors et donc et et par conséquent : est fini.
Si qu'est ce que celà signifie ??? :hein: :mur:
celà sinifie que ou
On suppose que ,alors est finie.
Par conséquent : mais on sait pas si est fini ou non, car seulement qui est fini :doh: :hein: :mur:

[Ben314]

si alors et donc et sont finis et par conséquent : est fini donc
Si alors il n'y a aucun calcul à faire : vu la définition de , ça signifie directement que est dans et il n'est pas utile de savoir si son conplémentaire est ou n'est pas fini.

[barbu23]

si alors et donc et sont finis et par conséquent : est fini donc
Si alors il n'y a aucun calcul à faire : vu la définition de , ça signifie directement que est dans et il n'est pas utile de savoir si son conplémentaire est ou n'est pas fini.

Ah oui quel étourdie ! merci ! :happy3:
Soient
Si pour tout , alors et est fini
par conséquent : $ est fini
Par conséquent :
Si tel que , alors , et par conséquent :
C'est bien maintenant : Ben314 ?
Merci d'avance :happy3:

[barbu23]

svp, il reste deux questions qu'il faut résoudre :
Montrer que est séparée
Montrer que

Merci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

quels sont les voisinages de 0?

[barbu23]

quels sont les voisinages de 0?

Un voisiange de est une partie de qui contient un élement: contenant tel que est fini.
et donc : admet un plus grand element
par conséquent : ,
par suite, :
par conséquent :

[Ben314]

Soient
Si pour tout , alors et est fini
par conséquent : $ est fini
Par conséquent :
Si tel que , alors , et par conséquent :

Heuuu, là, tu t'es un peu emprouillé les pinceaux :
Si alors il n'y a aucun calcul à faire : par définition de T, l'ensemble est ouvert.
Par contre, si alors là il y a des calculs vu qu'il faut montrer que le complémentaire de est fini pour prouver que est ouvert.

[barbu23]

Merci ! je vois bien comment résoudre le problème. :happy3:
Comment montrer maintenant que est séparée ?
Merci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

si tu prends deux points disjoint non nul x et y {x} et {y} sont des voisinages disjoints
si x=0
N\{y} est de complementaire fini....

[barbu23]

si tu prends deux points disjoint non nul x et y {x} et {y} sont des voisinages disjoints
si x=0
N\{y} est de complementaire vide ....

Merci beaucoup. :happy3:

[Ben314]

...N\{y} est de complementaire vide ....

petite faute de frappe...

[barbu23]

si x=0
N\{y} est de complementaire vide ....

svp, je ne comprends pas bien cet argument :
ici, on prend et
On prend quel voisinage pour ( ici j'imagine que le voisinage est ) et quel voisiange pour
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

...ici j'imagine que le voisinage est ...

Ben non, {0} ne contient clairement aucun ouvert contenant 0 (vu que les ouverts contenant 0 sont les ensembles de complémentaire fini) donc n'est pas un voisinage de 0.

Par contre, vu que y est non nul, {y} est un ouvert contenant y et comme N\{y} contient 0 et est de complémentaire fini, c'est un ouvert contenant 0.

[barbu23]

Merci :happy3:
Est ce que est compact pour la topologie ?
MErci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Oui, et la preuve est... extrèmement simple (avec uniquement la définition de la compacité par les recouvrements d'ouverts...)

[barbu23]

Oui, mais moi, je ne sais pas repondre à cette question même si elle est facile :triste: :mur: :marteau:
Soit un recouvrement quelconque de .
ça veut dire que :
Pourquoi il existe un sous recouvrement fini de .

alors tel que et donc est infini.
Est ce que celà est utile pour le reste de la demonstration ? :hein:
MErci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Oui, c'est bien ça (à condition bien sûr de préciser que tu part d'un recouvrement d'ouverts).
L'un d'entre eux Wio contient 0 donc en fait contient tout les entiers sauf un nombre fini. Evidement il suffit d'un nombre fini d'ouvert du recouvrement pour recouvrir le complémentaire de Wio (qui est fini).

[barbu23]

Merci :happy3: