Topologie

[barbu23]

Bonsoir,

Soit une relation d'équivalence sur un espace topologique, et la projection canonique.
On note :
Montrer que si est séparé, alors est fermé dans
Etablir la réciproque lorsque est ouverte ( est ouverte si pour tout ouvert de , est un ouvert de
On suppose que est compact, démonstrer l'équivalence des propriétés suivantes :
1) est fermé et est fermé
2) est séparé
3) est compact
J'ai réussi à faire les deux premières questions, il me reste la troisième question ( les équivalences ).
3) ----> 4) est clair par définition de la notion de compacité.
2) ----> 1)
Soit .
Alors
Et donc
Par suite
uisque est séparé, alors il existe un voisinage ouvert de et un voisinage ouvert de tels que
Puisque est continue, alors est un ouvert de et est un ouvert de et
Par conséquent : est un voisinage ouvert de .
Montrons que : .
Soit
Alors
Supposons que $ (x,y) \in C $, alors , par suite ( absurde )
Par conséquent :
D'où :
c'est à dire $ C $ est fermé
En revanche
Soit un fermé de compact, alors est comapct
est continue, alors est compact dans séparé, alors est fermé
Donc est fermé.

1) ----> 2)
Soient deux éléments de
Alors , et donc
puisque est ouvert, alors il existe un voisinage ouvert de et un voisinage ouvert de tel que :
Par suite, ouvert et ouvert
Montrons que :
Par absurde supposons que
Alors
donc : et
Donc tel que et tel que

Par suite
c'est à dire et donc ( Absurde )
Donc
est donc séparé.
Il reste la dernière implication 1) ----> 3) , je ne vois pas du tout comment arriver à 3) à partir de 1)
Veuillez m'aider et merci d'avance

:happy3:

[arnaud32]

Dans ta preuve de 1)->2) tu suppose p ouverte non? lorsque tu dis que p(U) est ouvert?

le plus simple est surement de montrer 1) -> 2) ->3) ->1)

pour 1)->2) il faut que tu prouves grace a la compacite de E que tu peux trouver des voisinages de x et y dont les images par p restent ouverts. en utilisant la compacite de E tu peux trouver en fait U et V voisinages ouverts de x et y tels que (i) ad(U) n ad(V) = vide et (ii) pout tout u de U (resp V) il existe un voisinage de u dont l'adherence est dans U.

pour 2)->3) il ne te reste qu'a verifier la propriete de Borel Lebesque pour les fermes dans E/R; en passant par les images reciproques par p.

pour 3)->1) comme E/R est compact, il est separe et C est ferme. reste a prouver que p est fermee. tu regardes l'image reciproque par p d'un ferme de E/R (qui est compacte, car ferme dans un compacte).

[Ben314]

Salut,
A mon avis, la façon dont tu procède { 3)=>2)=>1) puis 1)=>2) } n'est pas si mauvaise car 3)=>2)=>1) est assez simple (et tu l'as fait correctement) et, une fois que tu aura montré correctement que 1)=>2), tu aura trivialement 1)=>3) car, comme E est compact et que p:E-> est continue, tu est sûr que est compact... à condition qu'il soit séparé.

Par contre, il y a effectivement un problème (celui pointé par arnaud32) dans ton 1)=>2).

Indic : tu ne semble pas utiliser l'hypothèse "p est fermée" contenue dans la 1) , bizare, bizare...

Edit : Par rapport à ce que dit Arnaud32, ça ne change quasi rien, vu que la seule partie un petit peu délicate est 1)=>2) et que l'on ne peut pas y couper vu que 1)=>3) est équivalent à 1)=>2) !!!

[barbu23]

Comment demontrer 1) ---> 2) ? :happy3:
MErci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

c'est dure si tu ne donnes pas tout l'enonce
a quoi sert p ferme?

[Ben314]

Pour 1)=>2) :
Soient , deux éléments distincts de .
et sont fermés disjoints dans compact : il existe deux ouverts disjoints et .
et sont des fermés de et, comme est fermé et compact, il est façile de vérifier que leurs saturés respectifs et sont aussi des fermés de .
Les ouverts saturés et séparent et donc leurs images par sont des ouverts de qui séparent et .

P.S. : En fait, on n'a pas besoin de supposer fermée contrairement à ce que je suggérais dans mon précédent post...

[arnaud32]

pourquoi est il ferme?
sait on si est ferme?

[Ben314]

pourquoi est il ferme?
sait on si est ferme?

est fermé car c'est la 'trace' du fermé sur

[barbu23]

est fermé car c'est la 'trace' du fermé sur

Bravoooo :lol3:
ça veut dire quoi saturé d'un fermé ? :hein: :mur:
Merci d'avance :happy3:

[Ben314]

Lorsque tu as une relation d'équivalence R sur un ensemble E (pas forcément un espace topologique), on dit qu'une partie A de E est saturée pour R lorsque c'est une réunion de classe d'équivalences (pour R). Cela signifie que :
Pour tout x,x' de E, si x est dans A et xRx' alors x' est lui même dans A.

Pour une partie B quelconque de E, le saturé de B, c'est le plus petit ensemble saturé contenant B. C'est donc la réunon de toutes les classes d'équivalences d'éléments de B ce qui signifie que :
Un élément x de E est dans le saturé de B ssi il existe un x' de B tel que xRx'.

Ces notions sont importantes lorsque l'on parle de topologie quotient car les ouverts (respectivement fermés) de E/R sont (quasi par définition) les images par la projection p des ouverts saturés (respectivements des fermés saturés) de E.

[arnaud32]

Ben, n'as tu pas besoin du fait que p est ferme pour montrer que le sature d'un ferme est ferme?
car si F est ferme dans E p(F) est alors ferme dans E/R et qui est le sature de F est l'image reciproque d'un ferme par p continue donc ferme.

[barbu23]

est fermé car c'est la 'trace' du fermé sur

J'ai encore un peu de mal à comprendre cette phrase : :hum:
et et et ne sont pas les mêmes , ils sont en bijection, mais ils ne sont ps les mêmes ! :doh: :mur:

[arnaud32]

C est un ferme de ExE qui est compacte, c'est donc un compacte.
{x} est un ferme de E car E est separe et donc {x}xE est un ferme, et meme un compacte de ExE.
est donc un compact de ExE
la seconde projection etant continue et E separe, l'image du compacte est donc compacte de E.

[barbu23]

C est un ferme de ExE qui est compacte, c'est donc un compacte.
{x} est un ferme de E car E est separe et donc {x}xE est un ferme, et meme un compacte de ExE.
est donc un compact de ExE
la seconde projection etant continue et E separe, l'image du compacte est donc compacte de E.

Arnaud, pourquoi dis tu que : , j'ai un peu de mal à comprendre ça, même si c'est un peu normal, mais j'ai du mal à comrpendre ça mathematiquement? :marteau:

[arnaud32]

juste une erreur de frappe. je la corrige dans le post precedent! :zen:

[barbu23]

D'accord, on considerant : et est une application ouverte, fermé, et même continue. :happy3:

[Ben314]

Ben, n'as tu pas besoin du fait que p est ferme pour montrer que le sature d'un ferme est ferme?
car si F est ferme dans E p(F) est alors ferme dans E/R et qui est le sature de F est l'image reciproque d'un ferme par p continue donc ferme.

Non, justement, en fait il n'y a pas besoin de l'hypothèse "p est fermée" (qui est totalement équivalente à "le saturé d'un fermé est fermé") car :
Pour tout partie A de E, le saturé de A est où est la première projection de ExE dans E : (x,y)->x.
Si E est compact, C fermé de ExE et F fermé de E alors est un fermé de ExE compact donc un compact et, comme est continue, le saturé de F, à savoir est un compact, donc un fermé de E.

Si on garde quand même l'hypothèse "p est fermée", alors dans la preuve de mon post de hiers 20h10, on peut dirrectement prendre les images par p de F et de G qui vont être fermées grâce à "p est fermé" puis prendre leurs complémentaires dans E/R qui sépareront et .
De toute façon, prendre l'image par p d'une partie A ou de son saturé, c'est évidement la même chose, mais, si tu n'as aucune hypothèse du style "p fermée" ou "p ouverte" alors il faut que A soit saturée pour pouvoir dire (par définition de la topologie sur E/R) que A ouvert => p(A) ouvert et que A fermé => p(A) fermé (tout cela venant du fait que le saturé de A est )

[arnaud32]

super! merci Ben!

[barbu23]

est fermé car c'est la 'trace' du fermé sur

Je n'arrive pas encore à comprendre cette histoire de fermé. zut zut zut :mur:
Je comprends bien que , mais , je ne saisis pas bien pourquoi : :mur:
Merci pour vos eclaircissements. :happy3:
N'a-t-on pas :

avec tel que :
et est t-elle fermé ? ( je pense que oui, mais jene sais pas le demontrer ) .

Merci d'avance.

[arnaud32]

c'est quoi?
c'est l'ensemble des u de E qui ont meme classe que x
donc
E est compact donc separe et {x} est ferme
est donc ferme et compact dans ExE
et est compact comme image d'un compact par une appication continue dans un esapce separe.