Topologie

[barbu23]

Merci :happy3:
Je me suis perdu un peu dans ce raisonnement, c'est pourqui je suis venu vous revoir pour la même question qu'autrefois. :hum: :zen:

[Ben314]

Non, tu n'as pas , vu que l'ensemble à gauche du '=' est une partie de alors que celui à droite du '=' est une partie de .
Ce qui est vrai, c'est que (ici, on a bien affaire à deux parties de ).
Arrivé à ce point, tu peut
1) Soit utiliser la compacité de (ce qu'a fait Arnaud) pour dire que est un fermé du compact , donc un compact, ce qui montre que est un compact donc un fermé de .
2) Soit utiliser le fait (qui est facile à démontrer et quand même assez souvent utile) que, si est un espace topologique absolument quelconque et si est un élément de alors la restriction de la deuxième projection à l'ensemble (contenu dans ) induit un homéomorphisme de sur (résultat somme toute... assez rassurant !!!)
Tu déduit alors (sans hypothèse de compacité) que, comme est un fermé de , c'est que est un fermé de .

Edit : je n'avais pas vu la réponse d'Arnaud (je suis... lent...) et je vais prendre les même notation que lui pour les projections...

[barbu23]

et sont des fermés de et, comme est fermé et compact, il est façile de vérifier que leurs saturés respectifs et sont aussi des fermés de .

Comment verifier ça ?
MErci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Si est une partie de , le saturé de est (jusque là, il n'y a nullement besoin de topologie)
Ensuite, si est un fermé du compact et que est fermé dans alors est un compact de donc est un compact de

[barbu23]

Merci Ben314 : happy3:

Les ouverts saturés et séparent et

ça je ne ais pas pourquoi !! :hum: :marteau:

[barbu23]

si : alors : ??? :hein:

[Ben314]

Ben là, tout est évident :
- Les ensembles et sont ouverts car et sont fermés.
- Ils sont saturés car et le sont.
- Ils sont disjoints car respectivements contenus dans et qui sont disjoints.
- est une classe contenue dans donc disjointe de donc aussi disjointe du saturé (car c'est une classe) donc contenue dans .
- est une classe contenue dans donc disjointe de donc aussi disjointe du saturé (car c'est une classe) donc contenue dans .

[barbu23]

Voiçi ce que je n'ai pas compris :

- Ils sont disjoints car respectivements contenus dans et qui sont disjoints.

On a :

pourquoi ?
et pourquoi : ?
Merci d'avance :happy3:

[Ben314]

Il est quand même assez évident que, quand tu prend le saturé d'une partie, ça fait "grossir" la partie, donc "diminuer" son complémentaire...

[barbu23]

Ben là, tout est évident :
- Les ensembles et sont ouverts car et sont fermés.
- Ils sont saturés car et le sont.
- Ils sont disjoints car respectivements contenus dans et qui sont disjoints.
- est une classe contenue dans donc disjointe de donc aussi disjointe du saturé (car c'est une classe) donc contenue dans .
- est une classe contenue dans donc disjointe de donc aussi disjointe du saturé (car c'est une classe) donc contenue dans .

Merci Ben pour ces jolies precisions. :happy3:
J'ai fait ce matin un petit dessin simple et j'ai compris ce que tu voulais m'expliquer, c'est vrai ce que tu m'a ecrit était suffisant pour comprendre ce qui manquait
Bref :
Sur un dessin, on trouve que :
et et donc :
Par ailleurs :

la même chose pour : . :happy3:

[barbu23]

Les ouverts saturés et séparent et donc leurs images par sont des ouverts de qui séparent et .

...

Comment voir ça clairement Ben314 ??? :hein: :mur:
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Ben, c'est la définition de la topologie quotient : les ouverts (respectivement fermés) sont les images des ouverts saturés (respectivements fermés saturés)...